包含関係は半順序関係
包含関係は半順序関係
包含関係は半順序関係(反射律・反対称律・推移律)を満たす。
包含関係は半順序関係(反射律・反対称律・推移律)を満たす。
\(A,B,C\)を集合とする。
反射律
\(\forall x\left(x\in A\rightarrow x\in A\right)\Rightarrow A\subseteq A\)なので\(A\subseteq A\)となり反射律を満たす。反対称律
\(A=B\Leftrightarrow A\subseteq B\land B\subseteq A\)なので\(A\subseteq B\land B\subseteq A\Rightarrow A=B\)となり、反対称律を満たす。推移律
\begin{align*} A\subseteq B\land B\subseteq C & \Leftrightarrow\forall x\left(x\in A\rightarrow x\in B\right)\land\forall x\left(x\in B\rightarrow x\in C\right)\\ & \Leftrightarrow\forall x\left(x\in A\rightarrow x\in B\right)\land\left(x\in B\rightarrow x\in C\right)\\ & \Leftrightarrow\forall x\left\{ \left(\lnot x\in A\lor x\in B\right)\land\left(\lnot x\in B\lor x\in C\right)\right\} \\ & \Rightarrow\forall x\left\{ \lnot x\in A\lor x\in B\lor\lnot x\in B\lor x\in C\right\} \\ & \Leftrightarrow\forall x\left\{ \lnot x\in A\lor x\in C\right\} \\ & \Rightarrow\forall x\left(x\in A\rightarrow x\in C\right)\\ & \Leftrightarrow A\subseteq C \end{align*} となるので\(A\subseteq B\land B\subseteq C\Rightarrow A\subseteq C\)より、推移律を満たす。-
これらより、反射律・反対称律・推移律を満たすので半順序関係を満たす。
ページ情報
| タイトル | 包含関係は半順序関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/v6yqewcp/ |
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三角関数・双曲線関数の一次結合の逆数の積分
\[
\int\frac{1}{\alpha\sin z+\beta\cos z+\gamma}dz=-\frac{2}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}-\gamma^{2}}}\tanh^{\bullet}\frac{\left(\gamma-\beta\right)\tan\frac{z}{2}+\alpha}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}-\gamma^{2}}}+C
\]
部分順序集合
\[
b_{1}\preceq_{A}b_{2}\Leftrightarrow b_{1}\preceq_{B}b_{2}
\]
デルタ関数の定義
\[
\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)\delta\left(x\right)dx=f\left(0\right)
\]
『分割と同値関係と商集合の関係』を更新しました。