(1)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} \text{一様収束} & \Leftrightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in I}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=0\\ & \Leftrightarrow\forall\epsilon>0,\exists N,\forall x\in I,N\leq n\Rightarrow\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|<\epsilon\\ & \Rightarrow\forall x\in I,\forall\epsilon>0,\exists N,N\leq n\Rightarrow\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|<\epsilon\\ & \Leftrightarrow\forall x\in I,\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)=f\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow\text{各点収束} \end{align*} \(\Rightarrow\)の部分は一般的に逆は成り立たないので、全体としても逆は一般的に成り立たない。

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

一応反例を示す。
区間\(\left[0,1\right]\)で\(f_{n}\left(x\right)=x^{n}\)は、
\[ f\left(x\right)=\begin{cases} 0 & 0\leq x<1\\ 1 & x=1 \end{cases} \] に各点収束するが、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left[0,1\right]}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=1 \] なので一様収束しない。
従って\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

(2)

\(\Rightarrow\)

関数列\(f_{n}\left(x\right)\)が\(I\)上で\(f\left(x\right)\)に一様収束であるためには
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in I}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=0 \] が成り立たなければいけないが、広義一様収束であるためには\(I\)の任意の有界閉区間で一様収束であればいい。
従って明らかに\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(\left(-1,1\right)\)で定義された関数を\(f_{n}\left(x\right)=x^{n},f\left(x\right)=0\)とする。
このとき、\(-1<a<1,-1<b<1\)として\(a\leq b\)とすると、\(\left[a,b\right]\subseteq\left(-1,1\right)\)となり
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{a\leq x\leq b}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right| & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{a\leq x\leq b}\left|x^{n}\right|\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\max\left(a^{n},b^{n}\right)\\ & =0 \end{align*} となるので\(\left[a,b\right]\)では一様収束する。
しかし、
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{-1\leq x\leq1}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right| & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{-1\leq x\leq1}\left|x^{n}\right|\\ & =1 \end{align*} となるので\(\left(-1,1\right)\)では一様収束しない。
従って\(\left(-1,1\right)\)では広義一様収束するが一様収束はしない。
故に\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。