対数となる極限
対数となる極限
次の極限が成り立つ。
\[ \lim_{\alpha\rightarrow-1}\frac{z^{\alpha+1}}{\alpha+1}=\Log\left(z\right)+\lim_{\alpha\rightarrow-1}\frac{1}{\alpha+1} \]
次の極限が成り立つ。
\[ \lim_{\alpha\rightarrow-1}\frac{z^{\alpha+1}}{\alpha+1}=\Log\left(z\right)+\lim_{\alpha\rightarrow-1}\frac{1}{\alpha+1} \]
これと、
\[ \int z^{\alpha}dz=\frac{z^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C \] を使うと積分
\begin{align*} \int z^{-1}dz & =\lim_{\alpha\rightarrow-1}\int z^{\alpha}dz\\ & =\lim_{\alpha\rightarrow-1}\left(\frac{z^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\right)\\ & =\Log\left(z\right)+\lim_{\alpha\rightarrow-1}\frac{1}{\alpha+1}+C\\ & =\Log\left(z\right)+C\cmt{\lim_{\alpha\rightarrow-1}\frac{1}{\alpha+1}+C\rightarrow C} \end{align*} が導出できる。
\[ \int z^{\alpha}dz=\frac{z^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C \] を使うと積分
\begin{align*} \int z^{-1}dz & =\lim_{\alpha\rightarrow-1}\int z^{\alpha}dz\\ & =\lim_{\alpha\rightarrow-1}\left(\frac{z^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\right)\\ & =\Log\left(z\right)+\lim_{\alpha\rightarrow-1}\frac{1}{\alpha+1}+C\\ & =\Log\left(z\right)+C\cmt{\lim_{\alpha\rightarrow-1}\frac{1}{\alpha+1}+C\rightarrow C} \end{align*} が導出できる。
\begin{align*}
\lim_{\alpha\rightarrow-1}\frac{z^{\alpha+1}}{\alpha+1} & =\lim_{\alpha\rightarrow-1}\left(\frac{z^{\alpha+1}-1}{\alpha+1}+\frac{1}{\alpha+1}\right)\\
& =\lim_{\alpha\rightarrow-1}\left(\frac{\Log\left(z\right)z^{\alpha+1}}{1}+\frac{1}{\alpha+1}\right)\\
& =\Log\left(z\right)+\lim_{\alpha\rightarrow-1}\frac{1}{\alpha+1}
\end{align*}
となるので題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 対数となる極限 |
| URL | https://www.nomuramath.com/vmaaarbm/ |
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0の0乗の極限
\[
\lim_{x\rightarrow0}x^{\left|a\right|}=\delta_{0a}
\]
ネイピア数と極限
\[
\lim_{h\rightarrow0}\left(1-h\right)^{\frac{1}{h}}=\frac{1}{e}
\]