(*)スターリング数と2項係数
スターリング数と2項係数
スターリング数について以下が成り立つ。
スターリング数について以下が成り立つ。
(1)
\[ C\left(k,m\right)S_{1}\left(n,k\right)=\sum_{j=k-m}^{n-m}C\left(n,j\right)S_{1}\left(n-j,m\right)S_{1}\left(j,k-m\right),m\leq k \](2)
\[ C\left(k,m\right)S_{2}\left(n,k\right)=\sum_{j=k-m}^{n-m}C\left(n,j\right)S_{2}\left(n-j,m\right)S_{2}\left(j,k-m\right),m\leq k \](3)
\[ S_{1}\left(n,n-k\right)=\sum_{j=0}^{k}\left(-1\right)^{j}C\left(n+j-1,k+j\right)C\left(n+k,k-j\right)S_{2}\left(k+j,j\right) \](4)
\[ S_{2}\left(n,n-k\right)=\sum_{j=0}^{k}\left(-1\right)^{j}C\left(n+j-1,k+j\right)C\left(n+k,k-j\right)S_{1}\left(k+j,j\right) \]略
ページ情報
| タイトル | (*)スターリング数と2項係数 |
| URL | https://www.nomuramath.com/vnjrh5ay/ |
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スターリング数と上昇・下降階乗
\[
Q\left(x,n\right)=\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right)x^{k}
\]
スターリング数の母関数
\[
\sum_{n=0}^{\infty}S_{1}\left(n,k\right)\frac{x^{n}}{n!}=\frac{\log^{k}\left(1+x\right)}{k!}
\]
第2種スターリング数の一般解
\[
S_{2}\left(n,k\right)=\frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{k}\left(-1\right)^{k-j}C\left(k,j\right)j^{n}
\]
第1種・第2種スターリング数の性質
\[
\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right)=n!
\]