(1)

確率変数\(X\)をコイントスの\(\bigcirc\)と\(\times\)の並びとして、\(E\left[X\right]\)をコイントスの回数の期待値とする。

\(\times\times\)の試行回数の期待値

\(\times\times\)が出るのは次の3パターンである。
・最初に\(\times\times\)と出る。
・最初に\(\times\bigcirc\)と出て\(\times\bigcirc?\cdots?\times\times\)となる。
・最初に\(\bigcirc\)と出て\(\bigcirc?\cdots?\times\times\)となる。
これより、
\begin{align*} E\left[X\right] & =E\left[X;\times\times\right]P\left(\times\times\right)+E\left[X;\times\bigcirc?\cdots?\times\times\right]P\left(\times\bigcirc\right)+E\left[X;\bigcirc?\cdots?\times\times\right]P\left(\bigcirc\right)\\ & =2q^{2}+\left(2+E\left[X\right]\right)qp+\left(1+E\left[X\right]\right)p\\ & =\left(pq+p\right)E\left[X\right]+2q^{2}+2pq+p\\ & =\left(pq+p\right)E\left[X\right]+2q\left(q+p\right)+p\\ & =\left(pq+p\right)E\left[X\right]+2q+p\\ & =\left(pq+p\right)E\left[X\right]+2\left(1-p\right)+p\\ & =\left(pq+p\right)E\left[X\right]+2-p\\ & =\frac{2-p}{1-\left(pq+p\right)}\\ & =\frac{2-p}{q-pq}\\ & =\frac{2-p}{q\left(1-p\right)}\\ & =\frac{2-p}{q^{2}} \end{align*} となる。

\(\bigcirc\bigcirc\)の試行回数の期待値

\(\bigcirc\bigcirc\)の試行回数の期待値は\(\times\times\)の試行回数の期待値で\(p\)と\(q\)を入れ替えればいいので\(\frac{2-q}{p^{2}}\)となる。

\(\times\bigcirc\)の試行回数の期待値

\(\times\bigcirc\)が出るのは次の3パターンである。
・最初に\(\times\bigcirc\)と出る。
・最初に\(\times\times\)と出て\(\times\times?\cdots?\times\bigcirc\)となる。
・最初に\(\bigcirc\)と出て\(\bigcirc?\cdots?\times\bigcirc\)となる。
\(\times\times?\cdots?\times\bigcirc\)が出るのは次の2パターンである。
・最初に\(\times\times\)と出て\(\times\times\times?\cdots?\times\bigcirc\)となる。
・最初に\(\times\times\)と出て\(\times\times\bigcirc\)となる。
これより、
\begin{align*} E\left[X\right] & =E\left[X;\times\bigcirc\right]P\left(\times\bigcirc\right)+E\left[X;\times\times?\cdots?\times\bigcirc\right]P\left(\times\times\right)+E\left[X;\bigcirc?\cdots?\times\bigcirc\right]P\left(\bigcirc\right)\\ & =2qp+E\left[X;\times\times?\cdots?\times\bigcirc\right]q^{2}+\left(1+E\left[X\right]\right)p\\ & =pE\left[X\right]+2qp+p+q^{2}E\left[X;\times\times?\cdots?\times\bigcirc\right]\\ & =pE\left[X\right]+2pq+p+q^{2}\left\{ E\left[X;\times\times\times?\cdots?\times\bigcirc\right]P\left(\times\times\times;\times\times\right)+E\left[X;\times\times\bigcirc\right]P\left(\times\times\bigcirc;\times\times\right)\right\} \\ & =pE\left[X\right]+2pq+p+q^{2}\left\{ \left(1+E\left[X;\times\times?\cdots?\times\bigcirc\right]\right)q+3p\right\} \\ & =pE\left[X\right]+2pq+p+q^{2}\left\{ \left(qE\left[X;\times\times?\cdots?\times\bigcirc\right]\right)+q+3p\right\} \\ & =pE\left[X\right]+2pq+p+q^{2}\left\{ \frac{q+3p}{p}\right\} \cmt{\because E\left[X;\times\times?\cdots?\times\bigcirc\right]=\left(qE\left[X;\times\times?\cdots?\times\bigcirc\right]\right)+1+3p+pE\left[X\right]}\\ & =pE\left[X\right]+\frac{2p^{2}q+p^{2}+q^{3}+3pq^{2}}{p}\\ & =pE\left[X\right]+\frac{2p^{2}q+p^{2}+q^{2}\left(q+p\right)+2pq^{2}}{p}\\ & =pE\left[X\right]+\frac{2pq\left(p+q\right)+p^{2}+q^{2}}{p}\\ & =pE\left[X\right]+\frac{2pq+p^{2}+q^{2}}{p}\\ & =pE\left[X\right]+\frac{\left(p+q\right)^{2}}{p}\\ & =pE\left[X\right]+\frac{1}{p}\\ & =\frac{1}{p\left(1-p\right)}\\ & =\frac{1}{pq} \end{align*}

\(\bigcirc\times\)の試行回数の期待値

\(\bigcirc\times\)の試行回数の期待値は\(\times\bigcirc\)の試行回数の期待値で\(p\)と\(q\)を入れ替えればいいので\(\frac{1}{pq}\)となる。

-

まとめると次のようになる。
\(\times\times\)の試行回数の期待値は\(\frac{2-p}{q^{2}}\)となる。
\(\bigcirc\bigcirc\)の試行回数の期待値は\(\frac{2-q}{p^{2}}\)となる。
\(\times\bigcirc\)の試行回数の期待値は\(\frac{1}{pq}\)となる。
\(\bigcirc\times\)の試行回数の期待値は\(\frac{1}{pq}\)となる。
これに\(p=q=\frac{1}{2}\)を代入すると次のようになる。
\(\times\times\)の試行回数の期待値は\(6\)となる。
\(\bigcirc\bigcirc\)の試行回数の期待値は\(6\)となる。
\(\times\bigcirc\)の試行回数の期待値は\(4\)となる。
\(\bigcirc\times\)の試行回数の期待値は\(4\)となる。

(2)

全く逆のパターン

\(A_{1},A_{2},B_{1},B_{2}\)は\(\bigcirc\)または\(\times\)を表し\(\lnot A_{1},\lnot A_{2},\lnot B_{1},\lnot B_{2}\)でその逆を表すとする。
\(A_{1}A_{2}\)と\(B_{1}B_{2}\)の予想で\(A_{1}A_{2}\)の勝率が\(P_{A}\left(p,q\right)\)で\(B_{1}B_{2}\)の勝率が\(P_{B}\left(p,q\right)\)のときは、\(\lnot A_{1}\lnot A_{2}\)の勝率は\(p\)と\(q\)を入れ替えた\(P_{A}\left(q,p\right)\)になり、\(\lnot B_{1}\lnot B_{2}\)の勝率は\(P_{B}\left(q,p\right)\)となる。

\(\times\times\)と\(\bigcirc\bigcirc\)

\(\times\times\)が勝つパターンは\(\left(\times\bigcirc\right)\cdots\left(\times\bigcirc\right)\times\times\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}\left(pq\right)^{k}q^{2}=q^{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(pq\right)^{k}=\frac{q^{2}}{1-pq}\)と\(\bigcirc\left(\times\bigcirc\right)\cdots\left(\times\bigcirc\right)\times\times\)の確率\(\sum_{k=0}^{\infty}p\left(pq\right)^{k}q^{2}=pq^{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(pq\right)^{k}=\frac{pq^{2}}{1-pq}\)なので、勝率は\(\frac{q^{2}}{1-pq}+\frac{pq^{2}}{1-pq}=\frac{q^{2}+pq^{2}}{1-pq}=\frac{q^{2}\left(1+p\right)}{1-pq}\)となる。
\(\bigcirc\bigcirc\)の勝率は\(p\)と\(q\)を入れ替えればよく\(\frac{p^{2}\left(1+q\right)}{1-pq}\)となる。

\(\times\bigcirc\)と\(\bigcirc\times\)

\(\times\bigcirc\)と\(\bigcirc\times\)では最初に\(\times\)が来ると\(\times\bigcirc\)が勝ち、最初に\(\bigcirc\)が来ると\(\bigcirc\times\)が勝つので、\(\times\bigcirc\)の勝率は\(q\)で\(\bigcirc\times\)の勝率は\(p\)となる。

\(\times\times\)と\(\times\bigcirc\)

\(\times\times\)と\(\times\bigcirc\)では最初に出た\(\times\)の次で決着がつき、次に\(\times\)が来ると\(\times\times\)が勝つので勝率は\(q\)となり、次に\(\bigcirc\)が来ると\(\times\bigcirc\)が勝つので勝率は\(p\)となる。

\(\times\times\)と\(\bigcirc\times\)

\(\times\times\)と\(\bigcirc\times\)では最初の2回で\(\times\times\)が来ないと\(\bigcirc\times\)の勝ちになるので、\(\times\times\)の勝率は\(q^{2}\)となり、\(\bigcirc\times\)の勝率は\(1-q^{2}=\left(1-q\right)\left(1+q\right)=p\left(1+q\right)\)となる。

補足

\(p=q=\frac{1}{2}\)のときは次のようになる。
\(\times\bigcirc\)と\(\bigcirc\times\)のように全く逆のパターンは勝率は共に\(\frac{1}{2}\)となる。
\(\times\times\)と\(\times\bigcirc\)のように最初の1つが同じパターンは\(\times\)がでて次に決着がつくので勝率は共に\(\frac{1}{2}\)となる。
\(\times\times\)と\(\bigcirc\times\)は最初の2回で\(\times\times\)が来ないと\(\bigcirc\times\)の勝ちになるので、\(\times\times\)の勝率は\(\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}\)となる。