(1)

\(\Rightarrow\)

\[ \sin^{\bullet}\sin z=z\Leftrightarrow-\frac{\pi}{2}<\Re z<\frac{\pi}{2}\lor\left(\Re z=-\frac{\pi}{2}\land0\leq\Im z\right)\lor\left(\Re z=\frac{\pi}{2}\land\Im z\leq0\right) \] であるので、
\begin{align*} -\frac{\pi}{2}<\Re z<\frac{\pi}{2}\lor\left(\Re z=-\frac{\pi}{2}\land0\leq\Im z\right)\lor\left(\Re z=\frac{\pi}{2}\land\Im z\leq0\right) & \Leftrightarrow\sin^{\bullet}\sin z=z\\ & \Rightarrow\sqrt{\cos^{2}z}=\cos z \end{align*} を示せばよい。
\(\cos z\)の実部と虚部は
\begin{align*} \cos z & =\cos\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\\ & =\cos\left(\Re\left(z\right)\right)\cos\left(i\Im\left(z\right)\right)-\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\sin\left(i\Im\left(z\right)\right)\\ & =\cos\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)-i\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right) \end{align*} となる。

\(-\frac{\pi}{2}<\Re z<\frac{\pi}{2}\)のとき

\(\cos z\)の実部\(\Re\left(\cos z\right)\)は
\begin{align*} \Re\left(\cos z\right) & =\Re\left\{ \cos\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)-i\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\right\} \\ & =\cos\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)\\ & >0\cmt{\because0<\cos\left(\Re\left(z\right)\right),0<\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)} \end{align*} となるので、\(-\frac{\pi}{2}<\Arg\left(\cos z\right)<\frac{\pi}{2}\)となり\(-\pi<2\Arg\left(\cos z\right)<\pi\)となるので、
\begin{align*} \sqrt{\cos^{2}z} & =\sqrt{\left(\left|\cos z\right|e^{i\Arg\left(\cos z\right)}\right)^{2}}\\ & =\left|\cos z\right|\sqrt{\left(e^{i\Arg\left(\cos z\right)}\right)^{2}}\\ & =\left|\cos z\right|\sqrt{e^{i2\Arg\left(\cos z\right)}}\\ & =\left|\cos z\right|e^{i\frac{1}{2}\mod\left(2\Arg\left(\cos z\right),-2\pi,\pi\right)}\\ & =\left|\cos z\right|e^{i\frac{1}{2}2\Arg\left(\cos z\right)}\cmt{\because-\pi<2\Arg\left(\cos z\right)<\pi}\\ & =\left|\cos z\right|e^{i\Arg\left(\cos z\right)}\\ & =\cos z \end{align*} となる。

\(\Re z=-\frac{\pi}{2}\land0\leq\Im z\)のとき

\begin{align*} \cos z & =\cos\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)-i\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\\ & =\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)-i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\\ & =i\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\\ & =\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)e^{\frac{\pi}{2}i} \end{align*} となり、\(0\leq\Im z\)より、\(0\leq\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\)である。
これより、
\begin{align*} \sqrt{\cos^{2}z} & =\sqrt{\left(\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)e^{\frac{\pi}{2}i}\right)^{2}}\\ & =\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\sqrt{\left(e^{\frac{\pi}{2}i}\right)^{2}}\cmt{\because0\leq\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)}\\ & =\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\sqrt{e^{\pi i}}\\ & =\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)e^{\frac{\pi}{2}i}\\ & =\cos z \end{align*} となる。

\(\Re z=\frac{\pi}{2}\land\Im z\leq0\)のとき、

\begin{align*} \cos z & =\cos\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)-i\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\\ & =\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)-i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\\ & =-i\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\\ & =-\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)e^{\frac{\pi}{2}i} \end{align*} となり、\(\Im z\leq0\)より、\(0\leq-\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\)である。
これより、
\begin{align*} \sqrt{\cos^{2}z} & =\sqrt{\left(-\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)e^{\frac{\pi}{2}i}\right)^{2}}\\ & =-\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\sqrt{\left(e^{\frac{\pi}{2}i}\right)^{2}}\cmt{\because0\leq-\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)}\\ & =-\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\sqrt{e^{\pi i}}\\ & =-\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)e^{\frac{\pi}{2}i}\\ & =\cos z \end{align*} となる。

-

これより、\(-\frac{\pi}{2}<\Re z<\frac{\pi}{2}\)と\(\Re z=-\frac{\pi}{2}\land0\leq\Im z\)と\(\Re z=\frac{\pi}{2}\land\Im z\leq0\)のときで\(\sqrt{\cos^{2}z}=\cos z\)が成り立つので、\(\sin^{\bullet}\sin z=z\Rightarrow\sqrt{\cos^{2}z}=\cos z\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(z=2\pi\)ととれば\(\sqrt{\cos^{2}z}=\sqrt{\cos^{2}\left(2\pi\right)}=1=\cos\left(2\pi\right)=\cos z\)を満たすが、\(\sin^{\bullet}\sin z=\sin^{\bullet}\sin2\pi=0\ne2\pi=z\)となる。
従って、逆は一般的に成り立たない。

(2)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} \cos^{\bullet}\cos z=z & \Leftrightarrow\sin^{\bullet}\sin\left(\frac{\pi}{2}-z\right)=\frac{\pi}{2}-z\cmt{\because\sin^{\bullet}\sin z=z\Leftrightarrow\cos^{\bullet}\cos\left(\frac{\pi}{2}-z\right)=\frac{\pi}{2}-z}\\ & \Rightarrow\sqrt{\cos^{2}\left(\frac{\pi}{2}-z\right)}=\cos\left(\frac{\pi}{2}-z\right)\cmt{\because\sin^{\bullet}\sin z=z\Rightarrow\sqrt{\cos^{2}z}=\cos z}\\ & \Leftrightarrow\sqrt{\sin^{2}z}=\sin z\cmt{\because\cos\left(\frac{\pi}{2}-z\right)=\sin z} \end{align*} となるので、\(\Rightarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(z=2\pi\)ととれば\(\sqrt{\sin^{2}z}=\sqrt{\sin^{2}\left(2\pi\right)}=0=\sin\left(2\pi\right)=\sin z\)を満たすが、\(\cos^{\bullet}\cos z=\cos^{\bullet}\cos2\pi=0\ne2\pi=z\)となる。
従って、逆は一般的に成り立たない。

(2)-2

\(\Rightarrow\)

直接示す。
\[ \cos^{\bullet}\cos z=z\Leftrightarrow0<\Re z<\pi\lor\left(\Re z=0\land0\leq\Im z\right)\lor\left(\Re z=\pi\land\Im z\leq0\right) \] であるので、
\begin{align*} 0<\Re z<\pi\lor\left(\Re z=0\land0\leq\Im z\right)\lor\left(\Re z=\pi\land\Im z\leq0\right) & \Leftrightarrow\cos^{\bullet}\cos z=z\\ & \Rightarrow\sqrt{\sin^{2}z}=\sin z \end{align*} を示せばよい。
\(\sin z\)の実部と虚部は
\begin{align*} \sin z & =\sin\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\\ & =\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\cos\left(i\Im\left(z\right)\right)+\cos\left(\Re\left(z\right)\right)\sin\left(i\Im\left(z\right)\right)\\ & =\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)+i\cos\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right) \end{align*} となる。

\(0<\Re z<\pi\)のとき

\(\sin z\)の実部\(\Re\left(\sin z\right)\)は
\begin{align*} \Re\left(\sin z\right) & =\Re\left\{ \sin\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)+i\cos\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\right\} \\ & =\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)\\ & >0\cmt{\because0<\sin\left(\Re\left(z\right)\right),0<\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)} \end{align*} となるので、\(-\frac{\pi}{2}<\Arg\left(\sin z\right)<\frac{\pi}{2}\)となり\(-\pi<2\Arg\left(\sin z\right)<\pi\)となるので、
\begin{align*} \sqrt{\sin^{2}z} & =\sqrt{\left(\left|\sin z\right|e^{i\Arg\left(\sin z\right)}\right)^{2}}\\ & =\left|\sin z\right|\sqrt{\left(e^{i\Arg\left(\sin z\right)}\right)^{2}}\\ \\ & =\left|\sin z\right|\sqrt{e^{i2\Arg\left(\sin z\right)}}\\ & =\left|\sin z\right|e^{i\frac{1}{2}\mod\left(2\Arg\left(\sin z\right),-2\pi,\pi\right)}\\ & =\left|\sin z\right|e^{i\frac{1}{2}2\Arg\left(\sin z\right)}{\because-\pi<2\Arg\left(\sin z\right)<\pi}\\ & =\left|\sin z\right|e^{i\Arg\left(\sin z\right)}\\ & =\sin z \end{align*} となる。

\(\Re z=0\land0\leq\Im z\)のとき

\begin{align*} \sin z & =\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)+i\cos\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\\ & =\sin\left(0\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)+i\cos\left(0\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\\ & =i\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\\ & =\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)e^{\frac{\pi}{2}i} \end{align*} となり、\(0\leq\Im z\)より、\(0\leq\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\)である。
これより、
\begin{align*} \sqrt{\sin^{2}z} & =\sqrt{\left(\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)e^{\frac{\pi}{2}i}\right)^{2}}\\ & =\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\sqrt{\left(e^{\frac{\pi}{2}i}\right)^{2}}\cmt{\because0\leq\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)}\\ & =\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\sqrt{e^{\pi i}}\\ & =\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)e^{\frac{\pi}{2}i}\\ & =\sin z \end{align*} となる。

\(\Re z=\pi\land\Im z\leq0\)のとき、

\begin{align*} \sin z & =\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)+i\cos\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\\ & =\sin\left(\pi\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)+i\cos\left(\pi\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\\ & =-i\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\\ & =-\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)e^{\frac{\pi}{2}i} \end{align*} となり、\(\Im z\leq0\)より、\(0\leq-\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\)である。
これより、
\begin{align*} \sqrt{\sin^{2}z} & =\sqrt{\left(-\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)e^{\frac{\pi}{2}i}\right)^{2}}\\ & =-\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\sqrt{\left(e^{\frac{\pi}{2}i}\right)^{2}}\cmt{\because0\leq-\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)}\\ & =-\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\sqrt{e^{\pi i}}\\ & =-\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)e^{\frac{\pi}{2}i}\\ & =\sin z \end{align*} となる。

-

これより、\(0<\Re z<\pi\)と\(\Re z=0\land0\leq\Im z\)と\(\Re z=\pi\land\Im z\leq0\)のときで\(\sqrt{\sin^{2}z}=\sin z\)が成り立つので、\(\cos^{\bullet}\cos z=z\Rightarrow\sqrt{\sin^{2}z}=\sin z\)が成り立つ。

(3)

\(\Rightarrow\)

\[ \tan^{\bullet}\tan z=z\Leftrightarrow-\frac{\pi}{2}<\Re z<\frac{\pi}{2}\lor\left(\Re z=-\frac{\pi}{2}\land\Im z<0\right)\lor\left(\Re z=\frac{\pi}{2}\land0<\Im z\right) \] であるので、
\begin{align*} -\frac{\pi}{2}<\Re z<\frac{\pi}{2}\lor\left(\Re z=-\frac{\pi}{2}\land\Im z<0\right)\lor\left(\Re z=\frac{\pi}{2}\land0<\Im z\right) & \Leftrightarrow\tan^{\bullet}\tan z=z\\ & \Rightarrow\sqrt{\cos^{-2}z}=\cos^{-1}z \end{align*} を示せばよい。
\(\cos^{-1}z\)の実部と虚部は
\begin{align*} \cos^{-1}z & =\cos^{-1}\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\\ & =\frac{2\cos\left(\Re\left(z\right)-i\Im\left(z\right)\right)}{\cos\left(2\Re\left(z\right)\right)+\cos\left(2i\Im\left(z\right)\right)}\cmt{\because\cos^{-1}\left(x\pm y\right)=\frac{2\cos\left(x\mp y\right)}{\cos\left(2x\right)+\cos\left(2y\right)}}\\ & =2\frac{\cos\Re\left(z\right)\cos\left(-i\Im\left(z\right)\right)-\sin\Re\left(z\right)\sin\left(-i\Im\left(z\right)\right)}{\cos\left(2\Re\left(z\right)\right)+\cos\left(2i\Im\left(z\right)\right)}\\ & =2\frac{\cos\Re\left(z\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)+i\sin\Re\left(z\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cos\left(2\Re\left(z\right)\right)+\cosh\left(2\Im\left(z\right)\right)} \end{align*} となる。

\(-\frac{\pi}{2}<\Re z<\frac{\pi}{2}\)のとき

\(\cos^{-1}z\)の実部\(\Re\left(\cos^{-1}z\right)\)は
\begin{align*} \Re\left(\cos^{-1}z\right) & =\Re\left\{ 2\frac{\cos\Re\left(z\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)+i\sin\Re\left(z\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cos\left(2\Re\left(z\right)\right)+\cosh\left(2\Im\left(z\right)\right)}\right\} \\ & =2\frac{\cos\Re\left(z\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cos\left(2\Re\left(z\right)\right)+\cosh\left(2\Im\left(z\right)\right)}\\ & >0\cmt{\because0<\cos\left(2\Re\left(z\right)\right)+\cosh\left(2\Im\left(z\right)\right),0<\cos\Re\left(z\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)} \end{align*} となるので、\(-\frac{\pi}{2}<\Arg\left(\cos^{-1}z\right)<\frac{\pi}{2}\)となり\(-\pi<2\Arg\left(\cos^{-1}z\right)<\pi\)となるので、
\begin{align*} \sqrt{\cos^{-2}z} & =\sqrt{\left(\cos^{-1}z\right)^{2}}\\ & =\sqrt{\left(\left|\cos^{-1}z\right|e^{i\Arg\left(\cos^{-1}z\right)}\right)^{2}}\\ & =\left|\cos^{-1}z\right|\sqrt{\left(e^{i\Arg\left(\cos^{-1}z\right)}\right)^{2}}\\ & =\left|\cos^{-1}z\right|\sqrt{e^{i2\Arg\left(\cos^{-1}z\right)}}\\ & =\left|\cos^{-1}z\right|e^{i\frac{1}{2}\mod\left(2\Arg\left(\cos^{-1}z\right),-2\pi,\pi\right)}\\ & =\left|\cos^{-1}z\right|e^{i\frac{1}{2}2\Arg\left(\cos^{-1}z\right)}\cmt{\because-\pi<2\Arg\left(\cos^{-1}z\right)<\pi}\\ & =\left|\cos^{-1}z\right|e^{i\Arg\left(\cos^{-1}z\right)}\\ & =\cos^{-1}z \end{align*} となる。

\(\Re z=-\frac{\pi}{2}\land\Im z<0\)のとき

\begin{align*} \cos^{-1}z & =2\frac{\cos\Re\left(z\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)+i\sin\Re\left(z\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cos\left(2\Re\left(z\right)\right)+\cosh\left(2\Im\left(z\right)\right)}\\ & =2\frac{\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cos\left(2\cdot-\frac{\pi}{2}\right)+\cosh\left(2\Im\left(z\right)\right)}\\ & =2\frac{-i\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)}{-1+\cosh\left(2\Im\left(z\right)\right)}\\ & =\frac{-2\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cosh\left(2\Im\left(z\right)\right)-1}i\\ & =\frac{-2\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cosh\left(2\Im\left(z\right)\right)-1}e^{\frac{\pi}{2}i} \end{align*} となり、\(\Im z<0\)より\(0<\frac{-2\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cosh\left(2\Im\left(z\right)\right)-1}\)である。
これより、
\begin{align*} \sqrt{\cos^{-2}z} & =\sqrt{\left(\cos^{-1}z\right)^{2}}\\ & =\sqrt{\left(\frac{-2\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cosh\left(2\Im\left(z\right)\right)-1}e^{\frac{\pi}{2}i}\right)^{2}}\\ & =\frac{-2\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cosh\left(2\Im\left(z\right)\right)-1}\sqrt{\left(e^{\frac{\pi}{2}i}\right)^{2}}\cmt{\because0<\frac{-2\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cosh\left(2\Im\left(z\right)\right)-1}}\\ & =\frac{-2\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cosh\left(2\Im\left(z\right)\right)-1}\sqrt{\left(e^{\pi i}\right)}\\ & =\frac{-2\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cosh\left(2\Im\left(z\right)\right)-1}e^{\frac{\pi}{2}i}\\ & =\cos^{-1}z \end{align*} となる。

\(\Re z=\frac{\pi}{2}\land0<\Im z\)のとき、

\begin{align*} \cos^{-1}z & =2\frac{\cos\Re\left(z\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)+i\sin\Re\left(z\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cos\left(2\Re\left(z\right)\right)+\cosh\left(2\Im\left(z\right)\right)}\\ & =2\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cos\left(2\frac{\pi}{2}\right)+\cosh\left(2\Im\left(z\right)\right)}\\ & =2\frac{i\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)}{-1+\cosh\left(2\Im\left(z\right)\right)}\\ & =\frac{2\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cosh\left(2\Im\left(z\right)\right)-1}i\\ & =\frac{2\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cosh\left(2\Im\left(z\right)\right)-1}e^{\frac{\pi}{2}i} \end{align*} となり、\(0<\Im z\)より、\(0<\frac{2\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cosh\left(2\Im\left(z\right)\right)-1}\)である。
これより、
\begin{align*} \sqrt{\cos^{-2}z} & =\sqrt{\left(\cos^{-1}z\right)^{2}}\\ & =\sqrt{\left(\frac{2\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cosh\left(2\Im\left(z\right)\right)-1}e^{\frac{\pi}{2}i}\right)^{2}}\\ & =\frac{2\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cosh\left(2\Im\left(z\right)\right)-1}\sqrt{\left(e^{\frac{\pi}{2}i}\right)^{2}}\cmt{\because0<\frac{2\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cosh\left(2\Im\left(z\right)\right)-1}}\\ & =\frac{2\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cosh\left(2\Im\left(z\right)\right)-1}\sqrt{\left(e^{\pi i}\right)}\\ & =\frac{2\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cosh\left(2\Im\left(z\right)\right)-1}e^{\frac{\pi}{2}i}\\ & =\cos^{-1}z \end{align*} となる。

-

これより、\(-\frac{\pi}{2}<\Re z<\frac{\pi}{2}\)と\(\Re z=-\frac{\pi}{2}\land\Im z<0\)と\(\Re z=\frac{\pi}{2}\land0<\Im z\)のときで\(\sqrt{\cos^{-2}z}=\cos^{-1}z\)が成り立つので、\(\sin^{\bullet}\sin z=z\Rightarrow\sqrt{\cos^{-2}z}=\cos^{-1}z\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(z=2\pi\)ととれば\(\sqrt{\cos^{-2}z}=\sqrt{\cos^{-2}\left(2\pi\right)}=1=\cos^{-1}\left(2\pi\right)=\cos^{-1}z\)を満たすが、\(\tan^{\bullet}\tan z=\tan^{\bullet}\tan2\pi=0\ne2\pi=z\)となる。
従って、逆は一般的に成り立たない。

(4)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} \sin^{-1,\bullet}\sin^{-1}z=z & \Rightarrow\sin^{\bullet}\sin z=z\\ & \Rightarrow\sqrt{\cos^{2}z}=\cos z \end{align*} となるので\(\Rightarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(z=0\)とすると、\(\sqrt{\cos^{2}z}=\cos z\)となるが、\(\sin^{-1,\bullet}\sin^{-1}z\)\(\text{は定義ができないので}\sin^{-1,\bullet}\sin^{-1}z\ne z\)となる。
従って、逆は一般的に成り立たない。

(5)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} \cos^{-1,\bullet}\cos^{-1}z=z & \Rightarrow\cos^{\bullet}\cos z=z\\ & \Rightarrow\sqrt{\sin^{2}z}=\sin z \end{align*} となるので\(\Rightarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(z=\frac{\pi}{2}\)とすると、\(\sqrt{\sin^{2}z}=\sin z\)となるが、\(\cos^{-1,\bullet}\cos^{-1}z\)\(\text{は定義ができないので}\cos^{-1,\bullet}\cos^{-1}z\ne z\)となる。
従って、逆は一般的に成り立たない。

(6)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} \tan^{-1,\bullet}\tan^{-1}z=z & \Rightarrow\tan^{\bullet}\tan z=z\\ & \Rightarrow\sqrt{\cos^{-2}z}=\cos^{-1}z \end{align*} となるので\(\Rightarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(z=0\)とすると、\(\sqrt{\cos^{-2}z}=\cos^{-1}z\)となるが、\(\tan^{-1,\bullet}\tan^{-1}z\)\(\text{は定義ができないので}\tan^{-1,\bullet}\tan^{-1}z\ne z\)となる。
従って、逆は一般的に成り立たない。

(7)

\(\Rightarrow\)

\(\sinh^{\bullet}\sinh z=z\)であるとき、
\begin{align*} z & =\sinh^{\bullet}\sinh z\\ & =\sinh^{\bullet}\left(-i\sin iz\right)\\ & =-i\sin^{\bullet}\sin iz \end{align*} となるので、\(iz=\sin^{\bullet}\sin iz\)となる。
このとき、\(\sqrt{\cos^{2}\left(iz\right)}=\cos\left(iz\right)\)となるので、\(\sqrt{\cosh^{2}z}=\cosh z\)となる。
従って、\(\Rightarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(z=2\pi i\)とすると、\(\sqrt{\cosh^{2}z}=\sqrt{\cosh^{2}\left(2\pi i\right)}=\sqrt{\cos^{2}\left(2\pi\right)}=\sqrt{1^{2}}=1=\cos\left(2\pi\right)=\cosh\left(2\pi i\right)=\cosh z\)であるが、\(\sinh^{\bullet}\sinh z=\sinh^{\bullet}\sinh\left(2\pi i\right)=i\sin^{\bullet}\sin\left(2\pi\right)=0\ne2\pi i=z\)となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(8)

\(\nRightarrow\)

反例で示す。
\[ \cosh^{\bullet}\cosh z=z\Leftrightarrow\left(0<\Re z\land-\pi<\Im z\leq\pi\right)\lor\left(\Re z=0\land0\leq\Im z\leq\pi\right) \] であるので、
\begin{align*} \left(0<\Re z\land-\pi<\Im z\leq\pi\right)\lor\left(\Re z=0\land0\leq\Im z\leq\pi\right) & \Leftrightarrow\cosh^{\bullet}\cosh z=z\\ & \nRightarrow\sqrt{\sinh^{2}z}=\sinh z \end{align*} を示せばよい
\(z=1+\pi i\)ととると、\(z\)は\(\left(0<\Re z\land-\pi<\Im z\leq\pi\right)\lor\left(\Re z=0\land0\leq\Im z\leq\pi\right)\)を満たすので、\(\cosh^{\bullet}\cosh z=z\)が成り立つ。
しかし、\(\sinh z\)の実部と虚部は
\begin{align*} \sinh z & =\sinh\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\\ & =\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(i\Im\left(z\right)\right)+\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh\left(i\Im\left(z\right)\right)\\ & =\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)\cos\left(\Im\left(z\right)\right)+i\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)\sin\left(\Im\left(z\right)\right)\\ & =\sinh1\cos\left(\pi\right)+i\cosh\left(1\right)\sin\left(\pi\right)\\ & =-\sinh1 \end{align*} であり、
\begin{align*} \sqrt{\sinh^{2}z} & =\sqrt{\left(-\sinh1\right)^{2}}\\ & =\sqrt{\sinh^{2}1}\\ & =\sinh1\cmt{\because0<\sinh1}\\ & \ne-\sinh1\\ & =z \end{align*} となる。
従って\(\cosh^{\bullet}\cosh z=z\Rightarrow\sqrt{\sinh^{2}z}=\sinh z\)は一般的に成り立たない。

逆も一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(z=2\pi i\)ととれば\(\sqrt{\sinh^{2}z}=\sqrt{\sinh^{2}\left(2\pi i\right)}=\sqrt{\left(-\sin\left(2\pi\right)\right)^{2}}=0=i\sin\left(2\pi\right)=\sinh\left(2\pi i\right)=\sinh z\)を満たすが、\(\cosh^{\bullet}\cosh z=\cosh^{\bullet}\cosh2\pi i=\cosh^{\bullet}\cos2\pi=\cosh^{\bullet}\left(1\right)=0\ne2\pi i=z\)となる。
従って、逆は一般的に成り立たない。

(9)

\(\Rightarrow\)

\(\tanh^{\bullet}\tanh z=z\)であるとき、
\begin{align*} z & =\tanh^{\bullet}\tanh z\\ & =\tan^{\bullet}\left(-i\tan iz\right)\\ & =-i\tan^{\bullet}\tan iz \end{align*} となるので、\(iz=\tan^{\bullet}\tan iz\)となる。
このとき、\(\sqrt{\cos^{-2}\left(iz\right)}=\cos^{-1}\left(iz\right)\)となるので、\(\sqrt{\cosh^{-2}z}=\cosh^{-1}z\)となる。
従って、\(\Rightarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(z=2\pi i\)ととれば\(\sqrt{\cosh^{-2}z}=\sqrt{\cosh^{-2}\left(2\pi i\right)}=\sqrt{\cos^{-2}\left(2\pi\right)}=1=\cos^{-1}\left(2\pi\right)=\cosh^{-1}\left(2\pi i\right)=\cosh^{-1}z\)を満たすが、\(\tanh^{\bullet}\tanh z=\tanh^{\bullet}\tanh\left(2\pi i\right)=i\tan^{\bullet}\tan\left(2\pi\right)=i\tanh^{\bullet}\left(0\right)=0\ne2\pi i=z\)となる。
従って、逆は一般的に成り立たない。

(10)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} \sinh^{-1,\bullet}\sinh^{-1}z=z & \Rightarrow\sinh^{\bullet}\sinh z=z\\ & \Rightarrow\sqrt{\cosh^{2}z}=\cosh z \end{align*} となるので\(\Rightarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(z=0\)とすると、\(\sqrt{\cosh^{2}z}=\sqrt{\cosh^{2}0}=1=\cosh0=\cosh z\)となるが、\(\sinh^{-1,\bullet}\sinh^{-1}z\)\(\text{は定義ができないので}\sinh^{-1,\bullet}\sinh^{-1}z\ne z\)となる。
従って、逆は一般的に成り立たない。

(11)

\(\nRightarrow\)

\begin{align*} \cosh^{-1,\bullet}\cosh^{-1}z=z & \Rightarrow\cosh^{\bullet}\cosh z=z\\ & \nRightarrow\sqrt{\sinh^{2}z}=\sinh z \end{align*} となるので\(\cosh^{-1,\bullet}\cosh^{-1}z=z\nRightarrow\sqrt{\sinh^{2}z}=\sinh z\)となる。

逆も一般的に成り立たない

反例で示す。
\(z=\frac{\pi}{2}i\)とすると、\(\sqrt{\sinh^{2}z}=\sqrt{\sinh^{2}\left(\frac{\pi}{2}i\right)}=\sqrt{i^{2}\sin^{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)}=\sqrt{-1}=i=\sin\left(\frac{\pi}{2}i\right)=\sinh z\)となるが、\(\cosh^{-1,\bullet}\cosh^{-1}z\)\(\text{は定義ができないので}\cosh^{-1,\bullet}\cosh^{-1}z\ne z\)となる。
従って、逆は一般的に成り立たない。

(12)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} \tanh^{-1,\bullet}\tanh^{-1}z=z & \Rightarrow\tanh^{\bullet}\tanh z=z\\ & \Rightarrow\sqrt{\cosh^{-2}z}=\cosh^{-1}z \end{align*} となるので\(\Rightarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(z=0\)とすると、\(\sqrt{\cosh^{-2}z}=1=\cosh^{-1}z\)となるが、\(\tanh^{-1,\bullet}\tanh^{-1}z\)\(\text{は定義ができないので}\tanh^{-1,\bullet}\tanh^{-1}z\ne z\)となる。
従って、逆は一般的に成り立たない。