ヘヴィサイドの階段関数

ヘヴィサイドの階段関数同士の変換

by nomura · 2021年5月19日

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ヘヴィサイドの階段関数同士の変換

(1)

H_{a} (x) = H_{b} (x) + (a - b) δ_{0, x}

(2)

δ_{0, x} = \frac{H_{a} (x) - H_{b} (x)}{a - b}

(3)

H_{a} (x) = H_{b} (x) + \frac{a - b}{c - d} (H_{c} (x) - H_{d} (x))

(4)

H_{a} (x) = a H_{1} (x) + (1 - a) H_{0} (x)

-

H (x)

はヘヴィサイドの階段関数、

δ_{i j}

はクロネッカーのデルタ。

(1)

\begin{aligned} H_{a} (x) - H_{b} (x) & = {\begin{cases} a - b & x = 0 \\ 0 & x \neq 0 \end{cases} \\ = (a - b) δ_{0, x} \end{aligned}

より、

H_{a} (x) = H_{b} (x) + (a - b) δ_{0, x}

(2)

(1)より

δ

について解くと導出できる。

(3)

\begin{aligned} H_{a} (x) & = H_{b} (x) + (a - b) δ_{0, x} \\ = H_{b} (x) + \frac{a - b}{c - d} (H_{c} (x) - H_{d} (x)) \end{aligned}

(4)

\begin{aligned} H_{a} (x) & = H_{0} (x) + a δ_{0, x} \\ = H_{0} (x) + a (H_{1} (x) - H_{0} (x)) \\ = a H_{1} (x) + (1 - a) H_{0} (x) \end{aligned}

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タイトル	ヘヴィサイドの階段関数同士の変換
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ヘヴィサイドの階段関数の２定義値と関数

f (x) H (\pm 1) = f (\pm x) H (\pm 1)

ヘヴィサイドの階段関数の問題

f (H (\pm_{1} 1)) g (- H (\pm_{1} 1)) \pm_{2} f (- H (\mp_{1} 1)) g (H (\mp_{1} 1)) = {f (0) g (0) + f (\pm 1) g (\mp 1)} H (\pm_{2} 1) \mp_{1} {f (0) g (0) - f (\pm_{1} 1) g (\mp_{1} 1)} H (\mp_{2} 1)

ヘヴィサイドの階段関数の複素積分表示

H_{\frac{1}{2}} (x) = \frac{1}{2 π i} lim_{ϵ \to 0 +} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{z - i ϵ} e^{i x z} d z

mzp関数の定義と負数の関係

{mzp}_{a, b} (x_{1}, x_{2}; - x) = - {mzp}_{- b, - a} (- x_{2}, - x_{1}; x)