ヘヴィサイドの階段関数同士の変換
ヘヴィサイドの階段関数同士の変換
(1)
\[ H_{a}\left(x\right)=H_{b}\left(x\right)+\left(a-b\right)\delta_{0,x} \](2)
\[ \delta_{0,x}=\frac{H_{a}\left(x\right)-H_{b}\left(x\right)}{a-b} \](3)
\[ H_{a}\left(x\right)=H_{b}\left(x\right)+\frac{a-b}{c-d}\left(H_{c}\left(x\right)-H_{d}\left(x\right)\right) \](4)
\[ H_{a}\left(x\right)=aH_{1}\left(x\right)+\left(1-a\right)H_{0}\left(x\right) \]-
\(H\left(x\right)\)はヘヴィサイドの階段関数、\(\delta_{ij}\)はクロネッカーのデルタ。(1)
\begin{align*} H_{a}\left(x\right)-H_{b}\left(x\right) & =\begin{cases} a-b & x=0\\ 0 & x\ne0 \end{cases}\\ & =\left(a-b\right)\delta_{0,x} \end{align*} より、\[ H_{a}\left(x\right)=H_{b}\left(x\right)+\left(a-b\right)\delta_{0,x} \]
(2)
(1)より\(\delta\)について解くと導出できる。(3)
\begin{align*} H_{a}\left(x\right) & =H_{b}\left(x\right)+\left(a-b\right)\delta_{0,x}\\ & =H_{b}\left(x\right)+\frac{a-b}{c-d}\left(H_{c}\left(x\right)-H_{d}\left(x\right)\right) \end{align*}(4)
\begin{align*} H_{a}\left(x\right) & =H_{0}\left(x\right)+a\delta_{0,x}\\ & =H_{0}\left(x\right)+a\left(H_{1}\left(x\right)-H_{0}\left(x\right)\right)\\ & =aH_{1}\left(x\right)+\left(1-a\right)H_{0}\left(x\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | ヘヴィサイドの階段関数同士の変換 |
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ヘヴィサイドの階段関数と単位ステップ関数の定義
\[
H_{a}\left(x\right)=\begin{cases}
0 & \left(x<0\right)\\
a & \left(x=0\right)\\
1 & \left(0<x\right)
\end{cases}
\]
ヘヴィサイドの階段関数の２定義値と関数
\[
f\left(x\right)H\left(\pm1\right)=f\left(\pm x\right)H\left(\pm1\right)
\]
ヘヴィサイドの階段関数の複素積分表示
\[
H_{\frac{1}{2}}\left(x\right)=\frac{1}{2\pi i}\lim_{\epsilon\rightarrow0+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z-i\epsilon}e^{ixz}dz
\]
ヘヴィサイドの階段関数と絶対値・符号関数
\[
H_{a}\left(\left|c\right|x\right)=H_{a}\left(x\right)
\]