ガンマ関数の絶対収束条件
ガンマ関数の絶対収束条件
ガンマ関数
\[ \Gamma\left(z\right)=\int_{0}^{\infty}x^{z-1}e^{-z}dx \] は\(\Re\left(z\right)>0\)で絶対収束する。
ガンマ関数
\[ \Gamma\left(z\right)=\int_{0}^{\infty}x^{z-1}e^{-z}dx \] は\(\Re\left(z\right)>0\)で絶対収束する。
ガンマ関数が絶対収束するには\(\int_{0}^{\infty}\left|x^{z-1}e^{-x}\right|dx\)が収束する必要があり、\(\Re\left(z\right)>0\)とすると、
\begin{align*} \int_{0}^{\infty}\left|x^{z-1}e^{-x}\right|dx & =\int_{0}^{\infty}\left|x^{\Re\left(z\right)-1}x^{i\Im\left(z\right)}e^{-x}\right|dx\\ & =\int_{0}^{\infty}x^{\Re\left(z\right)-1}e^{-x}dx\\ & =\int_{0}^{1}x^{\Re\left(z\right)-1}e^{-x}dx+\int_{1}^{\infty}x^{\Re\left(z\right)-1}e^{-x}dx\\ & =\int_{0}^{1}x^{\Re\left(z\right)-1}e^{-x}dx+\int_{1}^{\infty}\frac{x^{\Re\left(z\right)-1}}{e^{x}}dx\\ & \leq\int_{0}^{1}x^{\Re\left(z\right)-1}dx+\int_{1}^{\infty}x^{\Re\left(z\right)-1}\frac{\left(\left\lceil \Re\left(z\right)\right\rceil +1\right)!}{x^{\left\lceil \Re\left(z\right)\right\rceil +1}}dx\\ & =\int_{0}^{1}x^{\Re\left(z\right)-1}dx+\left(\left\lceil \Re\left(z\right)\right\rceil +1\right)!\int_{1}^{\infty}x^{\Re\left(z\right)-\left\lceil \Re\left(z\right)\right\rceil -2}dx\\ & =\frac{1}{\Re\left(z\right)}\left[x^{\Re\left(z\right)}\right]_{0}^{1}+\frac{\left(\left\lceil \Re\left(z\right)\right\rceil +1\right)!}{\Re\left(z\right)-\left\lceil \Re\left(z\right)\right\rceil -1}\left[x^{\Re\left(z\right)-\left\lceil \Re\left(z\right)\right\rceil -1}\right]_{1}^{\infty}\\ & =\frac{1}{\Re\left(z\right)}-\frac{\left(\left\lceil \Re\left(z\right)\right\rceil +1\right)!}{\Re\left(z\right)-\left\lceil \Re\left(z\right)\right\rceil -1}\\ & =\frac{1}{\Re\left(z\right)}+\frac{\left(\left\lceil \Re\left(z\right)\right\rceil +1\right)!}{\left\lceil \Re\left(z\right)\right\rceil +1-\Re\left(z\right)}\\ & <\infty \end{align*} となり収束する。
ここで\(0<x\)のとき任意の非負整数\(m\)について、
\begin{align*} e^{x} & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}\\ & >\frac{x^{m}}{m!} \end{align*} を使った。
故にガンマ関数\(\Gamma\left(z\right)\)は\(\Re\left(z\right)>0\)で絶対収束する。
\begin{align*} \int_{0}^{\infty}\left|x^{z-1}e^{-x}\right|dx & =\int_{0}^{\infty}\left|x^{\Re\left(z\right)-1}x^{i\Im\left(z\right)}e^{-x}\right|dx\\ & =\int_{0}^{\infty}x^{\Re\left(z\right)-1}e^{-x}dx\\ & =\int_{0}^{1}x^{\Re\left(z\right)-1}e^{-x}dx+\int_{1}^{\infty}x^{\Re\left(z\right)-1}e^{-x}dx\\ & =\int_{0}^{1}x^{\Re\left(z\right)-1}e^{-x}dx+\int_{1}^{\infty}\frac{x^{\Re\left(z\right)-1}}{e^{x}}dx\\ & \leq\int_{0}^{1}x^{\Re\left(z\right)-1}dx+\int_{1}^{\infty}x^{\Re\left(z\right)-1}\frac{\left(\left\lceil \Re\left(z\right)\right\rceil +1\right)!}{x^{\left\lceil \Re\left(z\right)\right\rceil +1}}dx\\ & =\int_{0}^{1}x^{\Re\left(z\right)-1}dx+\left(\left\lceil \Re\left(z\right)\right\rceil +1\right)!\int_{1}^{\infty}x^{\Re\left(z\right)-\left\lceil \Re\left(z\right)\right\rceil -2}dx\\ & =\frac{1}{\Re\left(z\right)}\left[x^{\Re\left(z\right)}\right]_{0}^{1}+\frac{\left(\left\lceil \Re\left(z\right)\right\rceil +1\right)!}{\Re\left(z\right)-\left\lceil \Re\left(z\right)\right\rceil -1}\left[x^{\Re\left(z\right)-\left\lceil \Re\left(z\right)\right\rceil -1}\right]_{1}^{\infty}\\ & =\frac{1}{\Re\left(z\right)}-\frac{\left(\left\lceil \Re\left(z\right)\right\rceil +1\right)!}{\Re\left(z\right)-\left\lceil \Re\left(z\right)\right\rceil -1}\\ & =\frac{1}{\Re\left(z\right)}+\frac{\left(\left\lceil \Re\left(z\right)\right\rceil +1\right)!}{\left\lceil \Re\left(z\right)\right\rceil +1-\Re\left(z\right)}\\ & <\infty \end{align*} となり収束する。
ここで\(0<x\)のとき任意の非負整数\(m\)について、
\begin{align*} e^{x} & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}\\ & >\frac{x^{m}}{m!} \end{align*} を使った。
故にガンマ関数\(\Gamma\left(z\right)\)は\(\Re\left(z\right)>0\)で絶対収束する。
ページ情報
タイトル | ガンマ関数の絶対収束条件 |
URL | https://www.nomuramath.com/vwvc1qck/ |
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ガンマ関数の無限乗積
\[
\Gamma(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}n^{x}n!Q^{-1}(x,n+1)
\]
ガンマ関数と階乗の関係
\[
\Gamma(n+1)=n!
\]
ガンマ関数のハンケル積分表示
\[
\Gamma\left(z\right)=\frac{i}{2\sin\left(\pi z\right)}\int_{C}\left(-\tau\right)^{z-1}e^{-\tau}d\tau
\]
ガンマ関数の微分
\[
\frac{d}{dz}\Gamma(z)=\Gamma(z)\psi(z)
\]