${\cosh }^{-1}x$も${\cos }^{-1}x$も遇関数なのでオイラー数もセカント数も奇数項は0になる。
すなわち、$n\in \mathbb{N}$として、
$$E_{2n-1}=0$$ $${\hat{E}}_{2n-1}=0$$ となる。

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$$\begin{array}{rl}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{E_k}{k!}{z}^k& ={\cosh }^{-1}z\\ & ={\cos }^{-1}\left(iz\right)\\ & =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\hat{E}}_k}{k!}{\left(iz\right)}^k\\ & =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{i^k{\hat{E}}_k}{k!}{z}^k\end{array}$$ となるので係数を比較して、
$$E_k=i^k{\hat{E}}_k$$ となる。
また、偶数項のみを考えると、
$$\begin{array}{rl}{E}_{2k}& =i^{2k}{\hat{E}}_{2k}\\ & ={(-1)}^k{\hat{E}}_{2k}\end{array}$$ となる。
また、
$${\hat{E}}_{2k}>0$$ が成り立つ。

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オイラー数とタンジェント数一覧
$$\begin{array}{|ccc|}\hline n& E_n& T_n\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 2& -1& 0\\ 3& 0& 2\\ 4& 5& 0\\ 5& 0& 16\\ 6& -61& 0\\ 7& 0& 272\\ 8& 1,385& 0\\ 9& 0& 7,936\\ 10& -50,521& 0\\ 11& 0& 353,792\\ 12& 2,702,765& 0\\ 13& 0& 22,368,256\\ 14& -199,360,981& 0\\ 15& 0& 1,903,757,312\\ 16& 19,391,512,145& 0\\ 17& 0& 209,865,342,976\\ 18& -2,404,879,675,441& 0\\ 19& 0& 29,088,885,112,832\\ 20& 370,371,188,237,525& 0\\ 21& 0& 4,951,498,053,124,096\\ 22& -69,348,874,393,137,901& 0\\ 23& 0& 1,015,423,886,506,852,352\\ 24& 15,514,534,163,557,086,905& 0\\ 25& 0& 246,921,480,190,207,983,616\\ 26& -4,087,072,509,293,123,892,361& 0\\ 27& 0& 70,251,601,603,943,959,887,872\\ 28& 1,252,259,641,403,629,865,468,285& 0\\ 29& 0& 23,119,184,187,809,597,841,473,536\\ 30& -441,543,893,249,023,104,553,682,821& 0\\ \hline\end{array}$$