上限・下限と上極限・下極限の積の大小関係
上限・下限と上極限・下極限の積の大小関係
実数列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}},\left(b_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)があり、\(\forall n\in\mathbb{N},0\leq a_{n},0\leq b_{n}\)とする。
実数列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}},\left(b_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)があり、\(\forall n\in\mathbb{N},0\leq a_{n},0\leq b_{n}\)とする。
(1)
\[ \left(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\right)\left(\inf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\right)\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right) \](2)
\[ \inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)\leq\left(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\right)\left(\inf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\right) \](3)
\[ \left(\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}\right)\left(\liminf_{n\rightarrow\infty}b_{n}\right)\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}b_{n}\right) \](4)
\[ \liminf_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}b_{n}\right)\leq\left(\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}\right)\left(\liminf_{n\rightarrow\infty}b_{n}\right) \](1)で等号とはならない例
\(a_{n}=\delta_{1,n},b_{n}=1-\delta_{2,n}\)とすると、左辺は、\(\left(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\right)\left(\inf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\right)=\left(\sup_{n\in\mathbb{N}}\delta_{1,n}\right)\left(\inf_{n\in\mathbb{N}}1-\delta_{2,n}\right)=1\cdot0=0\)となり、右辺は\(\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\delta_{1,n}\left(1-\delta_{2,n}\right)\right)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\delta_{1,n}\right)=1\)となるので等号は成り立っていない。
例えば(1)で\(a_{n}=\delta_{1,n}-2,b_{n}=2-\delta_{2,n}\)とすると左辺は、\(\left(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\right)\left(\inf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\right)=\left(\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\delta_{1,n}-2\right)\right)\left(\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(2-\delta_{2,n}\right)\right)=-1\cdot1=-1\)となり、右辺は\(\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\left(\delta_{1,n}-2\right)\left(2-\delta_{2,n}\right)\right)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(2\delta_{1,n}-\delta_{1,n}\delta_{2,n}-4+2\delta_{2,n}\right)=2\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\delta_{1,n}+\delta_{2,n}\right)-4=-2\)となるので\(\left(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\right)\left(\inf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\right)=-1>-2=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)\)となるからである。
(2)は\(a_{n}=\delta_{1,n},b_{n}=-\delta_{2,n}\)とすると左辺は、\(\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)=\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(-\delta_{1,n}\delta_{2,n}\right)=0\)となり、右辺は\(\left(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\right)\left(\inf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\right)=\left(\sup_{n\in\mathbb{N}}\delta_{1,n}\right)\left(\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(-\delta_{2,n}\right)\right)=1\cdot\left(-1\right)=-1\)となるので、\(\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)=0>-1=\left(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\right)\left(\inf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\right)\)となるからである。
\(a_{n}=\delta_{1,n},b_{n}=1-\delta_{2,n}\)とすると、左辺は、\(\left(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\right)\left(\inf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\right)=\left(\sup_{n\in\mathbb{N}}\delta_{1,n}\right)\left(\inf_{n\in\mathbb{N}}1-\delta_{2,n}\right)=1\cdot0=0\)となり、右辺は\(\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\delta_{1,n}\left(1-\delta_{2,n}\right)\right)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\delta_{1,n}\right)=1\)となるので等号は成り立っていない。
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\(\forall n\in\mathbb{N},0\leq a_{n},0\leq b_{n}\)の条件がないと成り立たない。例えば(1)で\(a_{n}=\delta_{1,n}-2,b_{n}=2-\delta_{2,n}\)とすると左辺は、\(\left(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\right)\left(\inf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\right)=\left(\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\delta_{1,n}-2\right)\right)\left(\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(2-\delta_{2,n}\right)\right)=-1\cdot1=-1\)となり、右辺は\(\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\left(\delta_{1,n}-2\right)\left(2-\delta_{2,n}\right)\right)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(2\delta_{1,n}-\delta_{1,n}\delta_{2,n}-4+2\delta_{2,n}\right)=2\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\delta_{1,n}+\delta_{2,n}\right)-4=-2\)となるので\(\left(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\right)\left(\inf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\right)=-1>-2=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)\)となるからである。
(2)は\(a_{n}=\delta_{1,n},b_{n}=-\delta_{2,n}\)とすると左辺は、\(\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)=\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(-\delta_{1,n}\delta_{2,n}\right)=0\)となり、右辺は\(\left(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\right)\left(\inf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\right)=\left(\sup_{n\in\mathbb{N}}\delta_{1,n}\right)\left(\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(-\delta_{2,n}\right)\right)=1\cdot\left(-1\right)=-1\)となるので、\(\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)=0>-1=\left(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\right)\left(\inf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\right)\)となるからである。
(1)
\begin{align*} \left(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\right)\left(\inf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\right) & =\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\inf_{m\in\mathbb{N}}b_{m}\right)\\ & \leq\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\inf_{m\geq n}b_{m}\right)\\ & \leq\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \left(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\right)\left(\inf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\right) & =\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(\sup_{m\in\mathbb{N}}a_{m}b_{n}\right)\\ & \geq\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(\sup_{m\geq n}a_{m}b_{n}\right)\\ & \geq\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right) \end{align*}(3)
(1)は、\(k\in\mathbb{N}\rightarrow k\in\left\{ n,n+1,\cdots\right\} \)としても成り立つので、\begin{align*} \left(\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}\right)\left(\liminf_{n\rightarrow\infty}b_{n}\right) & =\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}a_{k}\right)\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\inf_{k\geq n}b_{k}\right)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sup_{k\geq n}a_{k}\right)\left(\inf_{j\geq n}b_{j}\right)\\ & \leq\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sup_{k\geq n}a_{k}b_{k}\right)\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}b_{n}\right) \end{align*}
(4)
(2)は、\(k\in\mathbb{N}\rightarrow k\in\left\{ n,n+1,\cdots\right\} \)としても成り立つので、\begin{align*} \left(\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}\right)\left(\liminf_{n\rightarrow\infty}b_{n}\right) & =\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}a_{k}\right)\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\inf_{k\geq n}b_{k}\right)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sup_{k\geq n}a_{k}\right)\left(\inf_{j\geq n}b_{j}\right)\\ & \geq\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\inf_{k\geq n}a_{k}b_{k}\right)\\ & =\liminf_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}b_{n}\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 上限・下限と上極限・下極限の積の大小関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/waz3evtg/ |
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実数での上界・下界・有界・最大値・最小値の定義
\[
\left(\exists x\in A,\forall a\in A,a\leq x\right)\Leftrightarrow\max A=x
\]
有界単調数列は収束する
連続な関数列の一様収束極限は連続関数
絶対収束するならば順序変更可能
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left|\alpha_{k}\right|<\infty\Rightarrow\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{k}=\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{\sigma\left(k\right)}
\]