ワイエルシュトラスの定理(公理)
ワイエルシュトラスの定理(公理)
実数全体\(\mathbb{R}\)の空でない部分集合\(A\subseteq\mathbb{R}\)が下に有界ならば下限が存在する。
同様に実数\(\mathbb{R}\)の空でない部分集合\(A\subseteq\mathbb{R}\)が上に有界ならば上限が存在する。
実数全体\(\mathbb{R}\)の空でない部分集合\(A\subseteq\mathbb{R}\)が下に有界ならば下限が存在する。
同様に実数\(\mathbb{R}\)の空でない部分集合\(A\subseteq\mathbb{R}\)が上に有界ならば上限が存在する。
実数全体\(\mathbb{R}\)でない場合は成り立つとは限りません。
例えば全体集合を有理数全体\(\mathbb{Q}\)として\(\left\{ q\in\mathbb{Q};\sqrt{2}<q\right\} \)の集合には下に有界であるが\(\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}\)なので下限が存在しません。
例えば全体集合を有理数全体\(\mathbb{Q}\)として\(\left\{ q\in\mathbb{Q};\sqrt{2}<q\right\} \)の集合には下に有界であるが\(\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}\)なので下限が存在しません。
実数全体の部分集合\(\left[0,1\right]\)は下に有界なので下限\(\inf\left[0,1\right]=0\)が存在する。
実数全体の部分集合\(\left(0,1\right)\)は下に有界なので下限\(\inf\left(0,1\right)=0\)が存在する。
実数全体の部分集合\(\left(0,1\right)\)は下に有界なので下限\(\inf\left(0,1\right)=0\)が存在する。
下界全体の集合を\(B\)とする。
このとき、任意の\(B\)の元は任意の\(B^{c}\)の元より小さく、\(\mathbb{R}=B\cup B^{c},B\ne\emptyset,B^{c}\ne\emptyset,\forall a\in B,\forall b\in B^{c},a<b\)となるので、デテキント切断となる。
デテキント切断となるので、ある点\(x\)は\(B\)で最大の数か\(B^{c}\)の最小の数かのどちらかになる。
\(x\)が\(B^{c}\)の最小の数と仮定する。
そうすると、\(x\)は下界ではない点なので\(x\)より小さい\(B^{c}\)の点\(y<x\)が存在する。
そうすると、\(x\)は\(B^{c}\)の最小の数とした仮定に矛盾。
従って、点\(x\)は\(B\)で最大の数、すなわち下界全体の最大の数となり、点\(x\)は下限となる。
故に題意は成り立つ。
このとき、任意の\(B\)の元は任意の\(B^{c}\)の元より小さく、\(\mathbb{R}=B\cup B^{c},B\ne\emptyset,B^{c}\ne\emptyset,\forall a\in B,\forall b\in B^{c},a<b\)となるので、デテキント切断となる。
デテキント切断となるので、ある点\(x\)は\(B\)で最大の数か\(B^{c}\)の最小の数かのどちらかになる。
\(x\)が\(B^{c}\)の最小の数と仮定する。
そうすると、\(x\)は下界ではない点なので\(x\)より小さい\(B^{c}\)の点\(y<x\)が存在する。
そうすると、\(x\)は\(B^{c}\)の最小の数とした仮定に矛盾。
従って、点\(x\)は\(B\)で最大の数、すなわち下界全体の最大の数となり、点\(x\)は下限となる。
故に題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | ワイエルシュトラスの定理(公理) |
| URL | https://www.nomuramath.com/wckxjz2g/ |
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一様コーシー列の定義
\[
\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall x\in I;\left(N\leq m,n\right)\rightarrow d\left(f_{m}\left(x\right),f_{n}\left(x\right)\right)<\epsilon
\]
実数での上界・下界・有界・最大値・最小値の定義
\[
\left(\exists x\in A,\forall a\in A,a\leq x\right)\Leftrightarrow\max A=x
\]
実数列の上極限と下極限の定義
\[
\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}:=\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}a_{k}
\]
上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の定数倍
\[
\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(ca_{n}\right)=\begin{cases}
c\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c>0\\
c\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c<0\\
0 & c=0
\end{cases}
\]