偶関数・奇関数の定義

by nomura · 2024年2月25日

偶関数・奇関数の定義
関数$f\left(x\right)$が任意の$x$に対し$f\left(-x\right)=f\left(x\right)$を満たすとき偶関数という。
関数$f\left(x\right)$が任意の$x$に対し$f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$を満たすとき奇関数という。

奇関数では$f\left(0\right)=0$となる。
何故なら$f\left(0\right)=0=-f\left(0\right)$となるので、$2f\left(0\right)=0$より、$f\left(0\right)=0$となるからである。

$f\left(x\right)=1$とすると、$f\left(-x\right)=1=f\left(x\right)$となるので偶関数である。
$f\left(x\right)=x$とすると、$f\left(-x\right)=-x=-f\left(x\right)$となるので奇関数である。
$f\left(x\right)=x^{2}$とすると、$f\left(-x\right)=\left(-x\right)^{2}=x^{2}=f\left(x\right)$となるので偶関数である。
$f\left(x\right)=x+x^{2}$とすると、$f\left(-x\right)\ne f\left(x\right)\land f\left(-x\right)\ne-f\left(x\right)$なので偶関数でも奇関数でもない。

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関数の偶奇分解

\[ f\left(x\right)=f_{e}\left(x\right)+f_{o}\left(x\right) \]

偶関数・奇関数の定積分

$f\left(x\right)$が偶関数ならば$\int_{-a}^{a}f\left(x\right)dx=2\int_{0}^{a}f\left(x\right)dx$

偶関数・奇関数の和・積

\[ \text{奇関数}+\text{奇関数}=\text{奇関数} \]

偶関数・奇関数の導関数

偶関数の導関数は奇関数になる。