(1)

\(\Rightarrow\)

\(0\leq m<n\)のとき、
\begin{align*} P\left(m,n\right) & =\prod_{k=0}^{n-1}\left(m-k\right)\\ & =\left\{ \prod_{k=0}^{m-1}\left(m-k\right)\right\} \left\{ \prod_{k=m}^{m}\left(m-k\right)\right\} \left\{ \prod_{k=m+1}^{n-1}\left(m-k\right)\right\} \\ & =m!\cdot0\cdot\left(-1\right)^{n-m-1}\left\{ \left(-1\right)^{n-m-1}\prod_{k=m+1}^{n-1}\left(k-m\right)\right\} \\ & =m!\cdot0\cdot\left(-1\right)^{n-m-1}\left(n-m-1\right)!\\ & =0 \end{align*} これより、\(\Rightarrow\)は成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(0\leq m<n\)でないとき
\(\lnot\left(0\leq m<n\right)\Leftrightarrow m<0\lor n\leq m\Leftrightarrow m<0\lor\left(n\leq0\leq m\right)\lor\left(0\leq n\leq m\right)\)である
\(m<0\)のとき、
\begin{align*} P\left(m,n\right) & =\left(-1\right)^{n}Q\left(-m,n\right)\\ & \ne0 \end{align*} \(n\leq0\leq m\)のとき、
\begin{align*} P\left(m,n\right) & =Q^{-1}\left(m+1,-n\right)\\ & \ne0 \end{align*} \(0\leq n\leq m\)のとき、
\begin{align*} P\left(m,n\right) & =Q\left(m-n+1,n\right)\\ & \ne0 \end{align*} \(\Rightarrow\)の対偶が成り立つので、\(\Leftarrow\)は成り立つ。

(2)

\[ P^{-1}\left(m,n\right)=P\left(m-n,-n\right) \] となるので(1)より、\(0\leq m-n<-n\)すなわち、\(n<n-m\leq0\)のとき、\(P^{-1}\left(m,n\right)=0\)となり、逆も成り立つ。

(3)

\[ Q\left(m,n\right)=P\left(m+n-1,n\right) \] となるので(1)より、\(0\leq m+n-1<n\)すなわち、\(m\leq0\land0<m+n\)のとき、\(Q\left(m,n\right)=0\)となり、逆も成り立つ。

(4)

\begin{align*} Q^{-1}\left(m,n\right) & =Q\left(m+n,-n\right)\\ & =P\left(m-1,-n\right) \end{align*} となるので(1)より、\(0\leq m-1<-n\)すなわち、\(0<m\land m+n\leq0\)のとき、\(Q^{-1}\left(m,n\right)=0\)となり、逆も成り立つ。