巾関数の積分表現
巾関数の積分表現
\[ \frac{1}{z^{\alpha}}=\frac{1}{\Gamma\left(\alpha\right)}\int_{0}^{\infty}t^{\alpha-1}e^{-zt}dt \]
\[ \frac{1}{z^{\alpha}}=\frac{1}{\Gamma\left(\alpha\right)}\int_{0}^{\infty}t^{\alpha-1}e^{-zt}dt \]
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\(\Gamma\left(z\right)\)はガンマ関数\begin{align*}
\frac{1}{z^{\alpha}} & =\frac{1}{\Gamma\left(\alpha\right)}\frac{\Gamma\left(\alpha\right)}{z^{\alpha}}\\
& =\frac{1}{\Gamma\left(\alpha\right)}\mathcal{L}_{t}\left[H\left(t\right)t^{\alpha-1}\right]\left(z\right)\\
& =\frac{1}{\Gamma\left(\alpha\right)}\int_{-\infty}^{\infty}H\left(t\right)t^{\alpha-1}e^{-zt}dt\\
& =\frac{1}{\Gamma\left(\alpha\right)}\int_{0}^{\infty}t^{\alpha-1}e^{-zt}dt
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 巾関数の積分表現 |
| URL | https://www.nomuramath.com/wpw1zrxj/ |
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指数型不等式
\[
\sgn\left(x^{n+1}\right)\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\leq\sgn\left(x^{n+1}\right)e^{x}
\]
真分数・仮分数・帯分数の定義
\[
\frac{1}{2},\frac{3}{3},\frac{4}{3}
\]
エジプト式分数表示
任意の正の真分数はエジプト式分数で表せる。
凸関数・狭義凸関数・凹関数・狭義凹関数の基本性質
関数$f$が2回微分可能であるとき、$f''>0$ならば$f$が狭義凸関数となるが、逆は一般的に成り立たない。