ゼータ関数とイータ関数の関係
ゼータ関数とイータ関数は以下の関係がある。
\[ \eta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s) \]
\[ \eta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s) \]
\begin{align*}
\eta(s) & =\sum_{k=1}^{^{\infty}}(-1)^{k+1}k^{-s}\\
& =\sum_{k=1}^{^{\infty}}(-1)^{2k+1}(2k)^{-s}+\sum_{k=1}^{^{\infty}}(-1)^{2k}(2k-1)^{-s}\\
& =-\sum_{k=1}^{^{\infty}}(2k)^{-s}+\sum_{k=1}^{^{\infty}}(2k-1)^{-s}\\
& =-\sum_{k=1}^{^{\infty}}(2k)^{-s}+\sum_{k=1}^{^{\infty}}k^{-s}-\sum_{k=1}^{^{\infty}}(2k)^{-s}\\
& =-2^{1-s}\sum_{k=1}^{^{\infty}}k^{-s}+\sum_{k=1}^{^{\infty}}k^{-s}\\
& =(1-2^{1-s})\zeta(s)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | ゼータ関数とイータ関数の関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/wsvsj63f/ |
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リーマン・ゼータ関数とディリクレ・イータ関数の定義
\[
\zeta(s)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{s}}
\]
リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数のハンケル経路積分
\[
\zeta\left(s,\alpha\right)=-\frac{\Gamma\left(1-s\right)}{2\pi i}\int_{C}\frac{\left(-z\right)^{s-1}e^{-\alpha z}}{1-e^{-z}}dz
\]
リーマン・ゼータ関数を含む総和
\[
\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\zeta\left(k\right)-1}{k}=1-\gamma
\]
偶数ゼータ・奇数ゼータ・ゼータの総和
\[
\sum_{k=2}^{\infty}\left(\zeta\left(k\right)-1\right)=1
\]