ゼータ関数とイータ関数の関係
ゼータ関数とイータ関数は以下の関係がある。
\[ \eta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s) \]
\[ \eta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s) \]
\begin{align*}
\eta(s) & =\sum_{k=1}^{^{\infty}}(-1)^{k+1}k^{-s}\\
& =\sum_{k=1}^{^{\infty}}(-1)^{2k+1}(2k)^{-s}+\sum_{k=1}^{^{\infty}}(-1)^{2k}(2k-1)^{-s}\\
& =-\sum_{k=1}^{^{\infty}}(2k)^{-s}+\sum_{k=1}^{^{\infty}}(2k-1)^{-s}\\
& =-\sum_{k=1}^{^{\infty}}(2k)^{-s}+\sum_{k=1}^{^{\infty}}k^{-s}-\sum_{k=1}^{^{\infty}}(2k)^{-s}\\
& =-2^{1-s}\sum_{k=1}^{^{\infty}}k^{-s}+\sum_{k=1}^{^{\infty}}k^{-s}\\
& =(1-2^{1-s})\zeta(s)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | ゼータ関数とイータ関数の関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/wsvsj63f/ |
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ζ(2)の値
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}
\]
リーマン・ゼータ関数とディレクレ・イータ関数の導関数の特殊値
\[
\zeta'\left(0\right)=-\Log\sqrt{2\pi}
\]
リーマン・ゼータ関数とディリクレ・イータ関数の定義
\[
\zeta(s)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{s}}
\]
リーマンゼータ関数とガンマ関数の関係
\[
\zeta(s)=\pi^{s-1}2^{s}\sin\frac{s\pi}{2}\Gamma\left(1-s\right)\zeta(1-s)
\]