ゼータ関数とイータ関数の関係
ゼータ関数とイータ関数は以下の関係がある。
\[ \eta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s) \]
\[ \eta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s) \]
\begin{align*}
\eta(s) & =\sum_{k=1}^{^{\infty}}(-1)^{k+1}k^{-s}\\
& =\sum_{k=1}^{^{\infty}}(-1)^{2k+1}(2k)^{-s}+\sum_{k=1}^{^{\infty}}(-1)^{2k}(2k-1)^{-s}\\
& =-\sum_{k=1}^{^{\infty}}(2k)^{-s}+\sum_{k=1}^{^{\infty}}(2k-1)^{-s}\\
& =-\sum_{k=1}^{^{\infty}}(2k)^{-s}+\sum_{k=1}^{^{\infty}}k^{-s}-\sum_{k=1}^{^{\infty}}(2k)^{-s}\\
& =-2^{1-s}\sum_{k=1}^{^{\infty}}k^{-s}+\sum_{k=1}^{^{\infty}}k^{-s}\\
& =(1-2^{1-s})\zeta(s)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | ゼータ関数とイータ関数の関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/wsvsj63f/ |
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すべての自然数の積(解析接続あり)
\[
\prod_{k=1}^{\infty}k=\sqrt{2\pi}
\]
リーマン・ゼータ関数のローラン展開
\[
\zeta\left(s\right)=\frac{1}{s-1}-\frac{1}{2}-s\int_{1}^{n}\frac{t-\left\lfloor t\right\rfloor -\frac{1}{2}}{t^{s+1}}dt
\]
リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の関係
\[
\zeta\left(s,1\right)=\zeta\left(s\right)
\]
ζ(2)の値
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}
\]