上限位相空間のみ示す。
下限位相も同様である。

(1)

上限位相は通常位相より強い位相であり、通常位相空間は\(T_{1}\)空間なので、上限位相空間も\(T_{1}\)空間となる。

(1)-2

直接求める。
任意の異なる2点\(a,b\in\mathbb{R},a\ne b\)に対し、開集合\(\left(\min\left\{ a,b\right\} -1,\min\left\{ a,b\right\} \right]\)は\(\min\left\{ a,b\right\} \)を要素に持つが\(\max\left\{ a,b\right\} \)は要素に持たない。
また、開集合\(\left(\min\left\{ a,b\right\} ,\max\left\{ a,b\right\} \right]\)は\(\max\left\{ a,b\right\} \)を要素に持つが\(\min\left\{ a,b\right\} \)は要素に持たない。
故に上限位相空間は\(T_{1}\)空間となる。

(2)

上限位相は通常位相より強い位相であり、通常位相空間はハウスドルフ空間なので、上限位相空間もハウスドルフ空間となる。

(2)-2

直接求める。
任意の異なる2点\(a,b\in\mathbb{R},a\ne b\)に対し、開集合\(\left(\min\left\{ a,b\right\} -1,\min\left\{ a,b\right\} \right]\)は\(\min\left\{ a,b\right\} \)を要素に持ち、開集合\(\left(\min\left\{ a,b\right\} ,\max\left\{ a,b\right\} \right]\)は\(\max\left\{ a,b\right\} \)を要素に持つ。
このとき、\(\left(\min\left\{ a,b\right\} -1,\min\left\{ a,b\right\} \right]\cap\left(\min\left\{ a,b\right\} ,\max\left\{ a,b\right\} \right]=\emptyset\)となる。
従って、上限位相空間はハウスドルフ空間となる。

(3)

上限位相は通常位相より強い位相であり、通常位相空間は\(T_{3}\)空間なので、上限位相空間も\(T_{3}\)空間となる。

(3)-2

直接求める。
任意の閉集合\(A\subseteq\mathbb{R}\)をとり、\(A\)の補集合から1点\(x\in A^{c}\)をとると、\(x\notin A\)となる。
このとき、\(A^{c}\)は開集合なので、ある\(\epsilon>0\)が存在し要素\(x\)を含む\(\epsilon\)近傍\(\left(x-\epsilon,x\right]\)がとれる。
ここで、\(\left(x-\epsilon,x\right]\subseteq A^{c}\)となるので、\(A\subseteq\left(x-\epsilon,x\right]^{c}\)となり、\(\left(x-\epsilon,x\right]\)が閉集合かつ開集合なので補集合\(\left(x-\epsilon,x\right]^{c}\)も閉集合かつ開集合となる。
これより、要素\(x\)を含む開集合\(\left(x-\epsilon,x\right]\)と閉集合\(A\)を含む開集合\(\left(x-\epsilon,x\right]^{c}\)の積集合は\(\left(x-\epsilon,x\right]\cap\left(x-\epsilon,x\right]^{c}=\emptyset\)となるので、\(T_{3}\)空間となる。

(4)

上限位相は通常位相より強い位相であり、通常位相空間は\(T_{4}\)空間なので、上限位相空間も\(T_{4}\)空間となる。

(5)

上限位相は通常位相より強い位相であり、通常位相空間は正則空間なので、上限位相空間も正則空間となる。

(5)-2

上限位相は\(T_{1}\)空間かつ\(T_{3}\)空間なので、正則空間となる。

(6)

上限位相は通常位相より強い位相であり、通常位相空間は正規空間なので、上限位相空間も正規空間となる。

(6)-2

上限位相は\(T_{1}\)空間かつ\(T_{4}\)空間なので、正規空間となる。

(6)-3

上限位相空間は正則空間でリンデレフ空間なので正規空間となる。