点と集合との距離と集合同士の距離の定義
点と集合との距離と集合同士の距離の定義
距離空間\(\left(X,d\right)\)があるとする。
\begin{align*} d\left(x,A\right) & :=\inf_{a\in A}d\left(x,a\right)\\ & =\inf\left\{ d\left(x,a\right);a\in A\right\} \end{align*} で定義する。
\[ d\left(A,B\right):=\inf\left\{ d\left(a,b\right);a\in A,b\in B\right\} \] で定義する。
距離空間\(\left(X,d\right)\)があるとする。
(1)点と集合との距離
点\(x\in X\)と空集合でない部分集合\(A\subseteq X\)があるとき、点\(x\)と集合\(A\)との距離を\begin{align*} d\left(x,A\right) & :=\inf_{a\in A}d\left(x,a\right)\\ & =\inf\left\{ d\left(x,a\right);a\in A\right\} \end{align*} で定義する。
(2)集合同士の距離
空集合でない部分集合\(A,B\subseteq X\)があるとき、集合\(A\)と集合\(B\)との距離を\[ d\left(A,B\right):=\inf\left\{ d\left(a,b\right);a\in A,b\in B\right\} \] で定義する。
全体集合を実数全体\(\mathbb{R}\)として通常距離\(d\)の距離空間\(\left(\mathbb{R},d\right)\)とする。
このとき、
\(d\left(0,\left[1,2\right]\right)=d\left(0,1\right)=1\)
\(d\left(0,\left(1,2\right)\right)=d\left(0,1\right)=1\)
\(d\left(0,\left(-2,-1\right)\right)=d\left(0,-1\right)=1\)
\(d\left(0,\left(0,1\right)\right)=d\left(0,0\right)=0\)
\(d\left(0,\left(-1,0\right)\right)=d\left(0,0\right)=0\)
\(d\left(0,\left(-1,1\right)\right)=d\left(0,0\right)=0\)
\(d\left(\left(0,1\right),\left(2,3\right)\right)=d\left(1,2\right)=1\)
\(d\left(\left(0,1\right),\left[2,3\right]\right)=d\left(1,2\right)=1\)
\(d\left(\left(0,1\right),\left(-2,-1\right)\right)=d\left(0,-1\right)=1\)
\(d\left(\left(0,1\right),\left(1,2\right)\right)=d\left(1,1\right)=0\)
\(d\left(\left(0,1\right),\left(-1,0\right)\right)=d\left(0,0\right)=0\)
\(d\left(\left(0,1\right),\left(-1,2\right)\right)=d\left(0,0\right)=0\)
となる。
このとき、
\(d\left(0,\left[1,2\right]\right)=d\left(0,1\right)=1\)
\(d\left(0,\left(1,2\right)\right)=d\left(0,1\right)=1\)
\(d\left(0,\left(-2,-1\right)\right)=d\left(0,-1\right)=1\)
\(d\left(0,\left(0,1\right)\right)=d\left(0,0\right)=0\)
\(d\left(0,\left(-1,0\right)\right)=d\left(0,0\right)=0\)
\(d\left(0,\left(-1,1\right)\right)=d\left(0,0\right)=0\)
\(d\left(\left(0,1\right),\left(2,3\right)\right)=d\left(1,2\right)=1\)
\(d\left(\left(0,1\right),\left[2,3\right]\right)=d\left(1,2\right)=1\)
\(d\left(\left(0,1\right),\left(-2,-1\right)\right)=d\left(0,-1\right)=1\)
\(d\left(\left(0,1\right),\left(1,2\right)\right)=d\left(1,1\right)=0\)
\(d\left(\left(0,1\right),\left(-1,0\right)\right)=d\left(0,0\right)=0\)
\(d\left(\left(0,1\right),\left(-1,2\right)\right)=d\left(0,0\right)=0\)
となる。
ページ情報
| タイトル | 点と集合との距離と集合同士の距離の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/wyincy21/ |
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距離空間での開集合全体の集合
\[
\forall\mathcal{P}\subseteq\mathcal{O},\bigcup_{P\in\mathcal{P}}P\in\mathcal{O}
\]
開球同士が交わるときの包含関係
\[
B\left(x_{1},r_{1}\right)\cap B\left(x_{2},r_{2}\right)\ne\emptyset\land r_{2}\leq r_{1}\Rightarrow B\left(x_{2},r_{2}\right)\subseteq B\left(x_{1},3r_{1}\right)
\]
収束列と閉集合・閉包・稠密との関係
閉集合であることと、収束列の収束先がその集合に入ることは同値である。
完備距離空間の像は完備部分集合とは限らない
完備距離空間の像は完備部分集合とは限らない