点と集合との距離と集合同士の距離の定義

by nomura · 2023年7月3日

点と集合との距離と集合同士の距離の定義
距離空間$\left(X,d\right)$があるとする。

(1)点と集合との距離

点$x\in X$と空集合でない部分集合$A\subseteq X$があるとき、点$x$と集合$A$との距離を
\begin{align*} d\left(x,A\right) & :=\inf_{a\in A}d\left(x,a\right)\\ & =\inf\left\{ d\left(x,a\right);a\in A\right\} \end{align*} で定義する。

(2)集合同士の距離

空集合でない部分集合$A,B\subseteq X$があるとき、集合$A$と集合$B$との距離を
\[ d\left(A,B\right):=\inf\left\{ d\left(a,b\right);a\in A,b\in B\right\} \] で定義する。

全体集合を実数全体$\mathbb{R}$として通常距離$d$の距離空間$\left(\mathbb{R},d\right)$とする。
このとき、
$d\left(0,\left[1,2\right]\right)=d\left(0,1\right)=1$
$d\left(0,\left(1,2\right)\right)=d\left(0,1\right)=1$
$d\left(0,\left(-2,-1\right)\right)=d\left(0,-1\right)=1$
$d\left(0,\left(0,1\right)\right)=d\left(0,0\right)=0$
$d\left(0,\left(-1,0\right)\right)=d\left(0,0\right)=0$
$d\left(0,\left(-1,1\right)\right)=d\left(0,0\right)=0$
$d\left(\left(0,1\right),\left(2,3\right)\right)=d\left(1,2\right)=1$
$d\left(\left(0,1\right),\left[2,3\right]\right)=d\left(1,2\right)=1$
$d\left(\left(0,1\right),\left(-2,-1\right)\right)=d\left(0,-1\right)=1$
$d\left(\left(0,1\right),\left(1,2\right)\right)=d\left(1,1\right)=0$
$d\left(\left(0,1\right),\left(-1,0\right)\right)=d\left(0,0\right)=0$
$d\left(\left(0,1\right),\left(-1,2\right)\right)=d\left(0,0\right)=0$
となる。

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タイトル	点と集合との距離と集合同士の距離の定義
URL	https://www.nomuramath.com/wyincy21/
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距離空間での空集合・全体集合・1点集合

距離空間$\left(X,d\right)$で空集合$\emptyset$と全体集合$X$はどちらも開集合かつ閉集合となる。

マンハッタン距離は距離空間

\[ d_{1}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right| \]

距離空間ならば第1可算空間

距離空間$\left(X,d\right)$ならば第1可算空間となる。

距離空間でコーシー列ならば有界列