論理演算の定義

(1)恒真式(恒真命題)

常に真となる式を恒真式、常に真となる命題を恒真命題といい記号$\mathrm{\top }$や$T$や1で表す。
恒真式の例は$P\vee \mathrm{\neg }P\iff 1$となる。

(2)恒偽式(矛盾式、恒偽命題)

常に偽となる式を恒偽式、、常に偽となる命題を恒偽命題といいといい記号$\mathrm{\perp }$や$F$や0で表す。
恒偽式の例は$P\wedge \mathrm{\neg }P\iff 0$となる。

(3)命題

真または偽で表されるものを命題という。

(4)否定

命題の真と偽を反転させる単項演算子で記号$\mathrm{\neg }$で表す。
命題$P$の否定は$\mathrm{\neg }P$である。
単項演算子は2項演算子より優先順位が高いので次の命題のみを反転させる。すなわち$\mathrm{\neg }P\vee Q\iff \left(\mathrm{\neg }P\right)\vee Q$である。

2項演算子

(5)論理和

2つの命題のうち少なくとも1つが真のとき真となり、いずれも偽のとき偽となる演算を論理和といい記号$\vee$で表す
命題$P,Q$の論理和は$P\vee Q$である。

(6)論理積

2つの命題がいずれも真のとき真となり、少なくとも1つが偽のとき偽となる演算を論理積といい記号$\wedge$で表す。
命題$P,Q$の論理積は$P\wedge Q$である。

(7)論理包含(含意、条件文)

2つの命題$P,Q$があり、Pが真、Qが偽のとき偽、それ以外は真となる演算を包含演算といい記号$\to$で表す。
命題$P,Q$の包含は$P\to Q$である。
$$P\to Q\iff \mathrm{\neg }P\vee Q$$

(8)論理逆包含

命題$P,Q$の逆包含は$P\leftarrow Q$と表され$Q\to P$と同じである。
$$P\leftarrow Q\iff P\vee \mathrm{\neg }Q$$

(9)同値(双条件文)

2つの命題の真偽が一致するとき真、一致しないとき偽となる演算を同値演算といい記号$\leftrightarrow$で表す。
命題$P,Q$の同値は$P\leftrightarrow Q$である。
$$\begin{array}{rl}P\leftrightarrow Q& \iff (P\wedge Q)\vee (\mathrm{\neg }P\wedge \mathrm{\neg }Q)\\ & \iff (P\vee \mathrm{\neg }Q)\wedge (\mathrm{\neg }P\vee Q)\\ & \iff (P\to Q)\wedge (Q\to P)\end{array}$$ 同値は排他的論理積(xand)、否定排他的論理和(xnor)と同じである。

(10)否定論理和

$P\downarrow Q$は論理和$P\vee Q$の否定$\mathrm{\neg }(P\vee Q)$で、少なくとも1つが真のとき偽になり、いずれも偽のとき真になる。
$$\begin{array}{rl}P\downarrow Q& \iff \mathrm{\neg }(P\vee Q)\\ & \iff \mathrm{\neg }P\wedge \mathrm{\neg }Q\end{array}$$

(11)否定論理積

$P\uparrow Q$は論理積$P\wedge Q$の否定$\mathrm{\neg }(P\wedge Q)$で、いずれも真のとき偽となり、少なくとも1つが偽のとき真となる。
$$\begin{array}{rl}P\uparrow Q& \iff \mathrm{\neg }(P\wedge Q)\\ & \iff \mathrm{\neg }P\vee \mathrm{\neg }Q\end{array}$$

(12)否定論理包含(非含意)

$P\nrightarrow Q$は包含$P\to Q$の否定$\mathrm{\neg }(P\to Q)$で、Pが真、Qが偽のとき真、それ以外は偽となる。
$$\begin{array}{rl}P\nrightarrow Q& \iff \mathrm{\neg }(P\to Q)\\ & \iff P\wedge \mathrm{\neg }Q\end{array}$$

(13)否定論理逆包含(逆非含意)

$P\nleftarrow Q$は逆包含$P\leftarrow Q$の否定$\mathrm{\neg }(P\leftarrow Q)$で、Qが真、Pが偽のとき真、それ以外は偽となる。
$$\begin{array}{rl}P\nleftarrow Q& \iff \mathrm{\neg }(P\leftarrow Q)\\ & \iff \mathrm{\neg }P\wedge Q\end{array}$$

(14)否定同値(非同値)

$P\nleftrightarrow Q$は同値$P\leftrightarrow Q$の否定$\mathrm{\neg }(P\leftrightarrow Q)$で、真偽が一致するとき偽、一致しないとき真となる。
$$\begin{array}{rl}P\nleftrightarrow Q& \iff \mathrm{\neg }(P\leftrightarrow Q)\\ & \iff (P\vee Q)\wedge (\mathrm{\neg }P\vee \mathrm{\neg }Q)\\ & \iff (P\nrightarrow Q)\vee (P\nleftarrow Q)\\ & \iff (P\wedge \mathrm{\neg }Q)\vee (\mathrm{\neg }P\wedge Q)\end{array}$$ 否定同値は排他的論理和(xor)、否定排他的論理積(xnand)と同じである。