階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の定義
階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の定義
(1)下降階乗
\[ P\left(x,y\right)=\frac{x!}{\left(x-y\right)!} \](2)上昇階乗
\[ Q\left(x,y\right)=\frac{\Gamma\left(x+y\right)!}{\Gamma\left(x\right)!} \]階乗冪(上昇階乗・下降階乗)と総乗
\(n\in\mathbb{Z}\)とする。
\(n\in\mathbb{Z}\)とする。
(1)
\[ P\left(x,n\right)=\prod_{k=0}^{n-1}\left(x-k\right) \](2)
\[ Q\left(x,n\right)=\prod_{k=0}^{n-1}\left(x+k\right) \](1)
\begin{align*} P\left(x,n\right) & =\frac{x!}{\left(x-n\right)!}\\ & =\prod_{k=0}^{n-1}\left(x-k\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} Q\left(x,n\right) & =\frac{\Gamma\left(x+y\right)!}{\Gamma\left(x\right)!}\\ & =\frac{\left(x+n-1\right)!}{\left(x-1\right)!}\\ & =\prod_{k=0}^{n-1}(x+n-1-k)\\ & =\prod_{k=0}^{n-1}(x+k) \end{align*}ページ情報
| タイトル | 階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/x0a02wep/ |
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階乗・ガンマ関数の商と階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の関係
\[
\frac{\Gamma\left(x\right)}{\Gamma\left(y\right)}=Q\left(y,x-y\right)
\]
階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}P(k,n)x^{k}=\frac{x^{n}n!}{(1-x)^{n+1}}
\]
階乗冪(上昇階乗・下降階乗)とその逆数の値が0となるとき
\[
\forall m,n\in\mathbb{Z},0\leq m<n\Leftrightarrow P\left(m,n\right)=0
\]
階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の指数法則
\[
P(x,y+z)=P(x,y)P(x-y,z)
\]