反復積分に関するコーシーの公式
反復積分に関するコーシーの公式
積分
\[ f^{\left(-n\right)}\left(x\right)=\int_{a}^{x}\int_{a}^{y_{1}}\cdots\int_{a}^{y_{n-1}}f\left(y_{n}\right)dy_{n}\cdots dy_{1} \] は、
\[ f^{\left(-n\right)}\left(x\right)=\frac{1}{\left(n-1\right)!}\int_{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f\left(t\right)dt \] と表すことができる。
積分
\[ f^{\left(-n\right)}\left(x\right)=\int_{a}^{x}\int_{a}^{y_{1}}\cdots\int_{a}^{y_{n-1}}f\left(y_{n}\right)dy_{n}\cdots dy_{1} \] は、
\[ f^{\left(-n\right)}\left(x\right)=\frac{1}{\left(n-1\right)!}\int_{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f\left(t\right)dt \] と表すことができる。
\(n=1\)のとき
\begin{align*} f^{\left(-1\right)}\left(x\right) & =\int_{a}^{x}f\left(y\right)dy\\ & =\left[\frac{1}{\left(n-1\right)!}\int_{a}^{x}\left(x-y\right)^{n-1}f\left(y\right)dy\right]_{n=1} \end{align*} となるので成り立つ。\(n=k+1\)のとき、
\(n=k\)のとき成り立つと仮定する\(n=k+1\)のとき
\begin{align*} f^{\left(-k+1\right)}\left(x\right) & =\int_{a}^{x}\int_{a}^{y_{1}}\cdots\int_{a}^{y_{k}}f\left(y_{k+1}\right)dy_{k+1}\cdots dy_{1}\\ & =\frac{1}{\left(k-1\right)!}\int_{a}^{x}\int_{a}^{y_{1}}\left(y_{1}-y_{2}\right)^{k-1}f\left(y_{2}\right)dy_{2}dy_{1}\\ & =\frac{1}{\left(k-1\right)!}\int_{a}^{x}\int_{y_{2}}^{x}\left(y_{1}-y_{2}\right)^{k-1}f\left(y_{2}\right)dy_{1}dy_{2}\\ & =\frac{1}{k!}\int_{a}^{x}\left(x-y_{2}\right)^{k}f\left(y_{2}\right)dy_{2} \end{align*} となるので\(n=k+1\)でも成り立つ。
-
故に数学的帰納法より与式は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 反復積分に関するコーシーの公式 |
| URL | https://www.nomuramath.com/x1bmgb8u/ |
| SNSボタン |
べき乗を含む0から∞までの定積分
\[
\Arg\left(\alpha\right)\ne\pi,0<b\Rightarrow\int_{0}^{\infty}f\left(x,\alpha x^{b}\right)dx=\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}b}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\Arg\left(\alpha\right)}}f\left(\frac{t^{\frac{1}{b}}}{\alpha^{\frac{1}{b}}},t\right)t^{\frac{1}{b}-1}dt
\]
対数を含む積分
\[
\int\log\left(x\right)f\left(x\right)dx=\left[\frac{d}{dt}\int x^{t}f\left(x\right)dx\right]_{t=0}
\]
基本関数の微分
\[
\left(a^{x}\right)'=a^{x}\log a
\]
3角関数の関数の定積分
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\cos x\right)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\sin x\right)dx
\]