チェビシェフ距離は距離空間
チェビシェフ距離は距離空間
\(\mathbb{R}^{n}\)に対し距離関数\(d:\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\)\(\rightarrow\mathbb{R}\)を
\[ d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\max\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|,\cdots,\left|x_{n}-y_{n}\right|\right) \] で定めると、\(\left(\mathbb{R}^{n},d_{\infty}\right)\)は距離空間になる。
この距離をチェビシェフ距離といい、距離空間をチェビシェフ距離空間という。
\(\mathbb{R}^{n}\)に対し距離関数\(d:\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\)\(\rightarrow\mathbb{R}\)を
\[ d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\max\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|,\cdots,\left|x_{n}-y_{n}\right|\right) \] で定めると、\(\left(\mathbb{R}^{n},d_{\infty}\right)\)は距離空間になる。
この距離をチェビシェフ距離といい、距離空間をチェビシェフ距離空間という。
非退化性
\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)のとき、明らかに\(d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)となるので\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\Rightarrow d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)\(d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)のとき、明らかに\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)なので、\(d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\Rightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)となる。
故に\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\Leftrightarrow d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)となり非退化性は満たされる。
対称性
\begin{align*} d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =\max\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|,\cdots,\left|x_{n}-y_{n}\right|\right)\\ & =\max\left(\left|y_{1}-x_{1}\right|,\cdots,\left|y_{n}-x_{n}\right|\right)\\ & =d_{\infty}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right) \end{align*} となるので、対称性は満たされる。3角不等式
1次元ユークリッド空間の3角不等式\(\left|a+b\right|\leq\left|a\right|+\left|b\right|\)を使うと、\begin{align*} d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) & =\max\left(\left|x_{1}-z_{1}\right|,\cdots,\left|x_{n}-z_{n}\right|\right)\\ & \leq\max\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|+\left|y_{1}-z_{1}\right|,\cdots,\left|x_{n}-y_{n}\right|+\left|y_{n}-z_{n}\right|\right)\\ & \leq\max\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|,\cdots,\left|x_{n}-y_{n}\right|\right)+\max\left(\left|y_{1}-z_{1}\right|,\cdots,\left|y_{n}-z_{n}\right|\right)\\ & =d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)+d_{\infty}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right) \end{align*} となるので3角不等式が成り立つ。
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これより、チェビシェフ距離は非退化性・対称性・3角不等式を満たすので距離空間になる。ページ情報
| タイトル | チェビシェフ距離は距離空間 |
| URL | https://www.nomuramath.com/x4cw87zp/ |
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距離空間ならば正規空間
距離空間の有界・直径と全有界の定義
\[
\diam\left(A\right):=\sup\left\{ d\left(a,b\right);a,b\in A\right\}
\]
距離空間での内点(内部)・外点(外部)・境界(境界点)・触点(閉包)・集積点(導集合)・孤立点の定義
\[
\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq A
\]
距離空間ならばハウスドルフ空間
距離空間$\left(X,d\right)$ならばハウスドルフ空間となる。