実数での上界・下界・有界・最大値・最小値の定義
実数での上界・下界・有界・最大値・最小値の定義
実数全体の集合の空でない部分集合\(A\subseteq\mathbb{R}\)があるとする。
\(A\)の上界が存在するとき上に有界であるという。
\(A\)の下界が存在するとき下に有界であるという。
また、ある\(M>0\)が存在し任意の\(a\in A\)に対し\(\left|a\right|\leq M\)でも同じである。
すなわち、\(\exists M>0,\forall a\in A,\left|a\right|\leq M\)である。
すなわち、\(\left(\exists x\in A,\forall a\in A,a\leq x\right)\Leftrightarrow\max A=x\)となる。
すなわち、\(\left(\exists x\in A,\forall a\in A,x\leq a\right)\Leftrightarrow\min A=x\)となる。
実数全体の集合の空でない部分集合\(A\subseteq\mathbb{R}\)があるとする。
(1)上界
ある\(x\in\mathbb{R}\)が存在し、任意の\(a\in A\)に対し\(a\leq x\)が成り立つとき、すなわち\(\exists x\in\mathbb{R},\forall a\in A,a\leq x\)となるとき、\(x\)を\(A\)の上界という。\(A\)の上界が存在するとき上に有界であるという。
(2)下界
ある\(x\in\mathbb{R}\)が存在し、任意の\(a\in A\)に対し\(x\leq a\)が成り立つとき、すなわち\(\exists x\in\mathbb{R},\forall a\in A,x\leq a\)となるとき、\(x\)を\(A\)の下界という。\(A\)の下界が存在するとき下に有界であるという。
(3)有界
\(A\)が上に有界で下にも有界であるとき、\(A\)は有界であるという。また、ある\(M>0\)が存在し任意の\(a\in A\)に対し\(\left|a\right|\leq M\)でも同じである。
すなわち、\(\exists M>0,\forall a\in A,\left|a\right|\leq M\)である。
(4)最大値
ある\(x\in A\)が存在し、任意の\(a\in A\)に対し、\(a\leq x\)となるとき、\(x\)は\(A\)の最大値といい\(\max A\)で表される。すなわち、\(\left(\exists x\in A,\forall a\in A,a\leq x\right)\Leftrightarrow\max A=x\)となる。
(5)最小値
ある\(x\in A\)が存在し、任意の\(a\in A\)に対し、\(x\leq a\)となるとき、\(x\)は\(A\)の最小値といい\(\min A\)で表される。すなわち、\(\left(\exists x\in A,\forall a\in A,x\leq a\right)\Leftrightarrow\min A=x\)となる。
順序集合における上界・下界・最大値・最小値の定義と同じである。
同様に最小元と極小元も一致する。
上に有界なら\(\exists M_{1}\in\mathbb{R},\forall a\in A,a\leq M_{1}\)となり、下に有界なら\(\exists M_{2}\in\mathbb{R},\forall a\in A,M_{2}\leq a\)となるので、\(M=\max\left\{ \left|M_{1}\right|,\left|M_{2}\right|\right\} \)とおくと、\(\forall a\in A,a\leq M_{1}\land M_{2}\leq a\Leftrightarrow\forall a\in A,M_{2}\leq a\leq M_{1}\Rightarrow\forall a\in A,-M\leq a\leq M\Leftrightarrow\forall a\in A,\left|a\right|\leq M\)となるので\(\Rightarrow\)が成り立つ。
また、\(\forall a\in A,\left|a\right|\leq M\Leftrightarrow\forall a\in A,-M\leq a\leq M\)となるので\(\Leftarrow\)が成り立つ。
従って\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。
-
実数は全順序集合なので最大元と極大元は一致する。同様に最小元と極小元も一致する。
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有界の定義が同値であることは次のように示される。上に有界なら\(\exists M_{1}\in\mathbb{R},\forall a\in A,a\leq M_{1}\)となり、下に有界なら\(\exists M_{2}\in\mathbb{R},\forall a\in A,M_{2}\leq a\)となるので、\(M=\max\left\{ \left|M_{1}\right|,\left|M_{2}\right|\right\} \)とおくと、\(\forall a\in A,a\leq M_{1}\land M_{2}\leq a\Leftrightarrow\forall a\in A,M_{2}\leq a\leq M_{1}\Rightarrow\forall a\in A,-M\leq a\leq M\Leftrightarrow\forall a\in A,\left|a\right|\leq M\)となるので\(\Rightarrow\)が成り立つ。
また、\(\forall a\in A,\left|a\right|\leq M\Leftrightarrow\forall a\in A,-M\leq a\leq M\)となるので\(\Leftarrow\)が成り立つ。
従って\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。
\(A=\left(0,1\right)\)とするとき、1も2も上界であるので上に有界であり、0も-1も下界であるので下に有界である。
上に有界で下にも有界であるので\(A\)は有界である。
最大値と最小値は存在しない。
上に有界で下にも有界であるので\(A\)は有界である。
最大値は1で最小値は0となる。
上に有界ではないので\(A\)は有界ではない。
最大値と最小値は存在しない。
上に有界ではないまたは下に有界ではないので\(A\)は有界ではない。
最大値と最小値は存在しない。
上に有界で下にも有界であるので\(A\)は有界である。
最大値と最小値は存在しない。
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\(A=\left[0,1\right]\)とするとき、1も2も上界であるので上に有界であり、0も-1も下界であるので下に有界である。上に有界で下にも有界であるので\(A\)は有界である。
最大値は1で最小値は0となる。
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\(A=\left(0,\infty\right)\)とするとき、上界は存在しないので上に有界ではなく、0も-1も下界であるので下に有界である。上に有界ではないので\(A\)は有界ではない。
最大値と最小値は存在しない。
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\(A=\mathbb{R}\)とするとき、上界は存在しないので上に有界ではなく、下界も存在しないので下に有界ではない。上に有界ではないまたは下に有界ではないので\(A\)は有界ではない。
最大値と最小値は存在しない。
ページ情報
| タイトル | 実数での上界・下界・有界・最大値・最小値の定義 |
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