(1)

頂点\(A,B,C\)と\(X\)を通る直線が対辺と交わる点を\(P,Q,R\)とする。

\begin{align*} \overrightarrow{AR}:\overrightarrow{RB} & =\overrightarrow{AR}\times\overrightarrow{RC}:\overrightarrow{RB}\times\overrightarrow{RC}\\ & =\overrightarrow{AR}\times\overrightarrow{XC}:\overrightarrow{RB}\times\overrightarrow{XC}\\ & =\left(\overrightarrow{AX}+\overrightarrow{XR}\right)\times\overrightarrow{XC}:\left(\overrightarrow{RX}+\overrightarrow{XB}\right)\times\overrightarrow{XC}\\ & =\overrightarrow{AX}\times\overrightarrow{XC}:\overrightarrow{XB}\times\overrightarrow{XC}\\ & =-2\triangle XCA:-2\triangle XCB\\ & =q:p \end{align*} 同様に、
\[ \overrightarrow{AQ}:\overrightarrow{QC}=r:p \] \[ \overrightarrow{BP}:\overrightarrow{PC}=r:q \] となる。
\(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CP}\)が平行または\(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AP}\)が平行または\(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BP}\)が平行の場合どれが1つが求まらないことがあるが、1つ求まればいい。
以下は\(\overrightarrow{BP}:\overrightarrow{PC}=r:q\)が求まった場合で計算するが、その他が求まった場合も同様である。
これより、
\begin{align*} 0 & =\overrightarrow{AX}-\overrightarrow{AX}\\ & =s\overrightarrow{AP}-\left(\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{BQ}\right)\\ & =s\frac{q\overrightarrow{AB}+r\overrightarrow{AC}}{q+r}-\left(\overrightarrow{AB}+t\frac{p\overrightarrow{BA}+r\overrightarrow{BC}}{p+r}\right)\\ & =s\frac{q\overrightarrow{AB}+r\overrightarrow{AC}}{q+r}-\left(\overrightarrow{AB}+t\frac{-p\overrightarrow{AB}+r\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)}{p+r}\right)\\ & =\left(\frac{q}{q+r}s-1+t\right)\overrightarrow{AB}+\left(\frac{r}{q+r}s-\frac{r}{p+r}t\right)\overrightarrow{AC} \end{align*} となり、\(\overrightarrow{AB}\)と\(\overrightarrow{AC}\)は1次独立だから
\[ \begin{cases} \frac{q}{q+r}s-1+t=0\\ \frac{r}{q+r}s-\frac{r}{p+r}t=0 \end{cases} \] となる。
これを解くと、
\[ \begin{cases} s=\frac{q+r}{p+q+r}\\ t=\frac{p+r}{p+q+r} \end{cases} \] となり、これより、
\begin{align*} \boldsymbol{X} & =\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AX}\\ & =\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{AP}\\ & =\overrightarrow{OA}+\frac{q+r}{p+q+r}\frac{q\overrightarrow{AB}+r\overrightarrow{AC}}{q+r}\\ & =OA+\frac{q\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)+r\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\right)}{p+q+r}\\ & =\frac{p\overrightarrow{OA}+q\overrightarrow{OB}+r\overrightarrow{OC}}{p+q+r}\\ & =\frac{p\boldsymbol{A}+q\boldsymbol{B}+r\boldsymbol{C}}{p+q+r} \end{align*} となるので題意は成り立つ。

(2)

\begin{align*} \triangle CXB:\triangle AXC:\triangle BXA & =\left|CXB\right|:\left|AXC\right|:\left|BXA\right|\\ & =p:q:r \end{align*} となるので(1)より、
\[ \boldsymbol{X}=\frac{p\boldsymbol{A}+q\boldsymbol{B}+r\boldsymbol{C}}{p+q+r} \] となる。