連続と開基との関係
連続と開基との関係
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}_{X}\right)\)から位相空間\(\left(Y,\mathcal{O}_{Y}\right)\)への写像\(f:X\rightarrow Y\)があるとき、\(f\)が連続であることと、\(Y\)の開基\(\mathcal{B}_{Y}\)の任意の元\(B_{Y}\)に対し\(f^{\bullet}\left(B_{Y}\right)\in\mathcal{O}_{X}\)となることは同値である。
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}_{X}\right)\)から位相空間\(\left(Y,\mathcal{O}_{Y}\right)\)への写像\(f:X\rightarrow Y\)があるとき、\(f\)が連続であることと、\(Y\)の開基\(\mathcal{B}_{Y}\)の任意の元\(B_{Y}\)に対し\(f^{\bullet}\left(B_{Y}\right)\in\mathcal{O}_{X}\)となることは同値である。
\(\Rightarrow\)
\(B_{Y}\in\mathcal{B}_{Y}\subseteq\mathcal{O}_{Y}\)なので、任意の\(B_{Y}\in\mathcal{B}_{Y}\)に対し、ある\(O_{Y}\in\mathcal{O}_{Y}\)が存在し、\(O_{Y}=B_{Y}\)となるので、\(f\)が連続であるという条件より\(f^{\bullet}\left(B_{Y}\right)=f^{\bullet}\left(O_{Y}\right)\in\mathcal{O}_{X}\)となる。故に\(\Rightarrow\)が成り立つ。
\(\Leftarrow\)
条件より、\(\mathcal{B}_{Y}=\left\{ B_{Y,\lambda};\lambda\in\Lambda\right\} \)とすると、任意の\(B_{Y,\lambda}\in\mathcal{B}_{Y}\)に対し、ある\(O_{X,\lambda}\in\mathcal{O}_{X}\)が存在し\(f^{\bullet}\left(B_{Y,\lambda}\right)=O_{X,\lambda}\)となる。\(\mathcal{B}_{Y}\)は開基なので、任意の\(\mathcal{O}_{Y}\)の元\(O_{Y}\in\mathcal{O}_{Y}\)に対し、ある集合\(\Lambda'\)が存在し、\(O_{Y}=\bigcup\left\{ B_{Y,\lambda};\lambda\in\Lambda'\right\} =\bigcup_{\lambda\in\Lambda'}B_{Y,\lambda}\)となる。
これより、\(f^{\bullet}\left(O_{Y}\right)=f^{\bullet}\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda'}B_{Y,\lambda}\right)=\bigcup_{\lambda\in\Lambda'}f^{\bullet}\left(B_{Y,\lambda}\right)=\bigcup_{\lambda\in\Lambda'}O_{X,\lambda}\in\mathcal{O}_{X}\)となるので、\(f\)は連続となる。
故に\(\Leftarrow\)が成り立つ。
\(\Leftrightarrow\)
これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。ページ情報
タイトル | 連続と開基との関係 |
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(*)log(1-x)のn乗の展開
\[
\log^{n}(1-x)=(-1)^{n}n!\sum_{k=0}^{\infty}\frac{S_{1}(k+n,n)}{(k+n)!}x^{k+n}
\]
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表示の不具合について
積が非負実数のべき乗
\[
\left(\Arg\left(\alpha\right)\ne\pi\lor\Arg\left(\beta\right)\ne\pi\right)\land0\leq a\beta\rightarrow\left(\alpha\beta\right)^{\gamma}=\alpha^{\gamma}\beta^{\gamma}
\]
正直天使と嘘つき悪魔
正直者か嘘つきか分からないときに1回のYES/NO質問で真実を聞くにはどうすればいいか?