空集合は任意の集合の部分集合

by nomura · 2023年8月7日

空集合は任意の集合の部分集合
任意の集合\(A\)に対し\(\emptyset\subseteq A\)が成り立つ。

\(\emptyset\subseteq\emptyset\)や\(A\subseteq A\)も常に成り立つ。

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\(A=\left\{ a\right\} \)のとき、\(a\in A\)であるが\(\left\{ a\right\} \in A\)ではない。また\(\left\{ a\right\} \subseteq A\)であるが、\(a\subseteq A\)ではない。
また任意の集合\(A\)に対し、\(\emptyset\subseteq A\)であるが、\(\emptyset\in A\)ではない。

任意の\(x\in\emptyset\)は常に偽なので、\(\emptyset\subseteq A\Leftrightarrow\forall x\left(x\in\emptyset\rightarrow x\in A\right)\)は真になる。
故に題意は成り立つ。