完備距離空間の像は完備部分集合とは限らない

反例で示す。

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完備距離空間と距離空間を$\mathbb{R}$とすると、$\mathbb{R}$は完備であるが連続写像$f\left(x\right)={\tan }^{\bullet }x$の像は$f\left(X\right)=(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$は完備ではない。
何故なら$x_n=\frac{\pi }{2}-\frac{1}{n}$とすると$x_n\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$であるが、その収束先の$\frac{\pi }{2}$は$\frac{\pi }{2}\notin (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$だからである。

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完備距離空間と距離空間を$\mathbb{R}$とすると、$\mathbb{R}$は完備であるが連続写像$f\left(x\right)=\frac{x}{1+\left|x\right|}$の像は$f\left(X\right)=(-1,1)$は完備ではない。
何故なら$x_n=1-\frac{1}{n}$とすると$x_n\in (-1,1)$であるが、その収束先の1は$1\notin (-1,1)$だからである。