(1)

対偶で示す。
対偶なので、\(f\left(A\right)\)が非連結のとき、\(A\)も非連結を示せばよい。
\(f\left(A\right)\)が非連結のとき、
\[ \exists O_{Y1},O_{Y2}\in\mathcal{O}_{Y},f\left(A\right)\subseteq O_{Y1}\cup O_{Y2}\land f\left(A\right)\cap O_{Y1}\cap O_{Y2}=\emptyset\land f\left(A\right)\cap O_{Y1}\ne\emptyset\land f\left(A\right)\cap O_{Y2}\ne\emptyset \] を満たす。
\(f\)が連続写像なので\(\exists O_{X1}\in\mathcal{O}_{X},O_{X1}=f^{\bullet}\)\(\left(O_{Y1}\right)\)となり同様に\(\exists O_{X2}\in\mathcal{O}_{X},O_{X2}=f^{\bullet}\)\(\left(O_{Y2}\right)\)となるので、
\[ \exists f^{\bullet}\left(O_{Y1}\right),f^{\bullet}\left(O_{Y2}\right)\in\mathcal{O}_{X},f^{\bullet}\left(f\left(A\right)\right)\subseteq f^{\bullet}\left(O_{Y1}\cup O_{Y2}\right)\land f^{\bullet}\left(f\left(A\right)\cap O_{Y1}\cap O_{Y2}\right)=f^{\bullet}\left(\emptyset\right)\land f^{\bullet}\left(f\left(A\right)\cap O_{Y1}\right)\ne f^{\bullet}\left(\emptyset\right)\land f^{\bullet}\left(f\left(A\right)\cap O_{Y2}\right)\ne f^{\bullet}\left(\emptyset\right) \] より、
\[ \exists O_{X1},O_{X2}\in\mathcal{O}_{X},f^{\bullet}\left(f\left(A\right)\right)\subseteq O_{X1}\cup O_{X2}\land f^{\bullet}\left(f\left(A\right)\right)\cap O_{X1}\cap O_{X2}=\emptyset\land f^{\bullet}\left(f\left(A\right)\right)\cap O_{X1}\ne\emptyset\land f^{\bullet}\left(f\left(A\right)\right)\cap O_{X2}\ne\emptyset \] となる。
ここで、\(A\subseteq f^{\bullet}\left(f\left(A\right)\right)\)と、\(f^{\bullet}\left(B\right)\ne\emptyset\Leftrightarrow B\cap f\left(X\right)\ne\emptyset\)を用いて、
\[ \exists O_{X1},O_{X2}\in\mathcal{O}_{X},A\subseteq O_{X1}\cup O_{X2}\land A\cap O_{X1}\cap O_{X2}=\emptyset\land A\cap O_{X1}\ne\emptyset\land A\cap O_{X2}\ne\emptyset \] となり非連結となる。
これより、\(f\left(A\right)\)が非連結のとき、\(A\)も非連結となるので対偶をとると、\(A\)が連結のとき、\(f\left(A\right)\)も連結となる。

(2)

反例で示す。
離散位相\(\left(\left\{ a,b\right\} ,2^{\left\{ a,b\right\} }\right)\)から密着位相\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)への恒等写像\(f:\left\{ a,b\right\} \rightarrow\left\{ a,b\right\} \)は連続写像になり、密着位相の部分集合\(\left\{ a,b\right\} \)は連結であるがその逆像\(f^{\bullet}\left(\left\{ a,b\right\} \right)=\left\{ a,b\right\} \)は離散位相では連結ではない。
従って題意は成り立つ。

(3)

任意の\(y_{0},y_{1}\in f\left(A\right)\)に対しある\(x_{0},x_{1}\in A\)が存在し、\(f\left(x_{0}\right)=y_{0},f\left(x_{1}\right)=y_{1}\)となる。
\(\left(A,\mathcal{O}_{A}\right)\)は弧状連結なので連続写像\(g:\left[0,1\right]\rightarrow X\)が存在し、\(g\left(0\right)=x_{0},g\left(1\right)=x_{1}\)となる。
これより合成写像\(f\circ g\)は連続写像となり、\(f\circ g:\left[0,1\right]\rightarrow f\left(A\right)\)は\(f\circ g\left(0\right)=f\left(x_{0}\right)=y_{0},f\circ g\left(1\right)=f\left(x_{1}\right)=y_{1}\)となる。
従って\(\left(f\left(A\right),\mathcal{O}_{f\left(A\right)}\right)\)は弧状連結となる。

(4)

(2)で連結を弧状連結にすればいい。