連結・弧状連結の連続写像による像・逆像
位相空間の間に連続写像があるとする。
(1)連結空間の像
部分集合が連結ならば連続写像による像も連結となる。
(2)連結空間の逆像
部分集合が連結でも連続写像による逆像は連結とは限らない。
(3)弧状連結空間の像
部分集合が弧状連結ならば連続写像による像も弧状連結となる。
(4)弧状連結空間の逆像
部分集合が弧状連結でも連続写像による逆像は連結とは限らない。
離散位相から密着位相への恒等写像は連続写像になり、離散位相の部分集合は連結なのでその像は密着位相では連結になる。
弧状連結でも同様である。
(1)
対偶で示す。
対偶なので、
が非連結のとき、
も非連結を示せばよい。
が非連結のとき、
を満たす。
が連続写像なので
となり同様に
となるので、
より、
となる。
ここで、
と、
を用いて、
となり非連結となる。
これより、
が非連結のとき、
も非連結となるので対偶をとると、
が連結のとき、
も連結となる。
(2)
反例で示す。
離散位相
から密着位相
への恒等写像
は連続写像になり、密着位相の部分集合
は連結であるがその逆像
は離散位相では連結ではない。
従って題意は成り立つ。
(3)
任意の
に対しある
が存在し、
となる。
は弧状連結なので連続写像
が存在し、
となる。
これより合成写像
は連続写像となり、
は
となる。
従って
は弧状連結となる。
(4)
(2)で連結を弧状連結にすればいい。
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連結部分集合・弧状連結部分集合・連結成分・弧状連結成分・完全不連結の定義
連結空間の閉包・内部
連結であれば閉包も連結になる。