連結・弧状連結の連続写像による像・逆像

連結・弧状連結の連続写像による像・逆像
位相空間(X,OX),(Y,OY)の間に連続写像f:XYがあるとする。

(1)連結空間の像

部分集合AXが連結ならば連続写像による像f(A)Yも連結となる。

(2)連結空間の逆像

部分集合BYが連結でも連続写像による逆像f(B)Xは連結とは限らない。

(3)弧状連結空間の像

部分集合AXが弧状連結ならば連続写像による像f(A)も弧状連結となる。

(4)弧状連結空間の逆像

部分集合BYが弧状連結でも連続写像による逆像f(B)Xは連結とは限らない。
離散位相({a,b},2{a,b})から密着位相({a,b},{,{a,b}})への恒等写像f:{a,b}{a,b}は連続写像になり、離散位相の部分集合{a}は連結なのでその像f({a})={a}は密着位相では連結になる。
弧状連結でも同様である。

(1)

対偶で示す。
対偶なので、f(A)が非連結のとき、Aも非連結を示せばよい。
f(A)が非連結のとき、
OY1,OY2OY,f(A)OY1OY2f(A)OY1OY2=f(A)OY1f(A)OY2 を満たす。
fが連続写像なのでOX1OX,OX1=f(OY1)となり同様にOX2OX,OX2=f(OY2)となるので、
f(OY1),f(OY2)OX,f(f(A))f(OY1OY2)f(f(A)OY1OY2)=f()f(f(A)OY1)f()f(f(A)OY2)f() より、
OX1,OX2OX,f(f(A))OX1OX2f(f(A))OX1OX2=f(f(A))OX1f(f(A))OX2 となる。
ここで、Af(f(A))と、f(B)Bf(X)を用いて、
OX1,OX2OX,AOX1OX2AOX1OX2=AOX1AOX2 となり非連結となる。
これより、f(A)が非連結のとき、Aも非連結となるので対偶をとると、Aが連結のとき、f(A)も連結となる。

(2)

反例で示す。
離散位相({a,b},2{a,b})から密着位相({a,b},{,{a,b}})への恒等写像f:{a,b}{a,b}は連続写像になり、密着位相の部分集合{a,b}は連結であるがその逆像f({a,b})={a,b}は離散位相では連結ではない。
従って題意は成り立つ。

(3)

任意のy0,y1f(A)に対しあるx0,x1Aが存在し、f(x0)=y0,f(x1)=y1となる。
(A,OA)は弧状連結なので連続写像g:[0,1]Xが存在し、g(0)=x0,g(1)=x1となる。
これより合成写像fgは連続写像となり、fg:[0,1]f(A)fg(0)=f(x0)=y0,fg(1)=f(x1)=y1となる。
従って(f(A),Of(A))は弧状連結となる。

(4)

(2)で連結を弧状連結にすればいい。
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連結・弧状連結の連続写像による像・逆像
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