(1)

対偶で示す。
対偶なので、$f\left(A\right)$が非連結のとき、$A$も非連結を示せばよい。
$f\left(A\right)$が非連結のとき、
$$\mathrm{\exists }{O}_{Y1},O_{Y2}\in {\mathcal{O}}_Y,f\left(A\right)\subseteq O_{Y1}\cup O_{Y2}\wedge f\left(A\right)\cap O_{Y1}\cap O_{Y2}=\mathrm{\varnothing }\wedge f\left(A\right)\cap O_{Y1}\ne \mathrm{\varnothing }\wedge f\left(A\right)\cap O_{Y2}\ne \mathrm{\varnothing }$$ を満たす。
$f$が連続写像なので$\mathrm{\exists }{O}_{X1}\in {\mathcal{O}}_X,O_{X1}=f^{\bullet }$$\left(O_{Y1}\right)$となり同様に$\mathrm{\exists }{O}_{X2}\in {\mathcal{O}}_X,O_{X2}=f^{\bullet }$$\left(O_{Y2}\right)$となるので、
$$\mathrm{\exists }{f}^{\bullet }\left(O_{Y1}\right),f^{\bullet }\left(O_{Y2}\right)\in {\mathcal{O}}_X,f^{\bullet }\left(f\left(A\right)\right)\subseteq f^{\bullet }(O_{Y1}\cup O_{Y2})\wedge f^{\bullet }(f\left(A\right)\cap O_{Y1}\cap O_{Y2})=f^{\bullet }\left(\mathrm{\varnothing }\right)\wedge f^{\bullet }(f\left(A\right)\cap O_{Y1})\ne f^{\bullet }\left(\mathrm{\varnothing }\right)\wedge f^{\bullet }(f\left(A\right)\cap O_{Y2})\ne f^{\bullet }\left(\mathrm{\varnothing }\right)$$ より、
$$\mathrm{\exists }{O}_{X1},O_{X2}\in {\mathcal{O}}_X,f^{\bullet }\left(f\left(A\right)\right)\subseteq O_{X1}\cup O_{X2}\wedge f^{\bullet }\left(f\left(A\right)\right)\cap O_{X1}\cap O_{X2}=\mathrm{\varnothing }\wedge f^{\bullet }\left(f\left(A\right)\right)\cap O_{X1}\ne \mathrm{\varnothing }\wedge f^{\bullet }\left(f\left(A\right)\right)\cap O_{X2}\ne \mathrm{\varnothing }$$ となる。
ここで、$A\subseteq f^{\bullet }\left(f\left(A\right)\right)$と、$f^{\bullet }\left(B\right)\ne \mathrm{\varnothing }\iff B\cap f\left(X\right)\ne \mathrm{\varnothing }$を用いて、
$$\mathrm{\exists }{O}_{X1},O_{X2}\in {\mathcal{O}}_X,A\subseteq O_{X1}\cup O_{X2}\wedge A\cap O_{X1}\cap O_{X2}=\mathrm{\varnothing }\wedge A\cap O_{X1}\ne \mathrm{\varnothing }\wedge A\cap O_{X2}\ne \mathrm{\varnothing }$$ となり非連結となる。
これより、$f\left(A\right)$が非連結のとき、$A$も非連結となるので対偶をとると、$A$が連結のとき、$f\left(A\right)$も連結となる。

(2)

反例で示す。
離散位相$(\{a,b\},2^{\{a,b\}})$から密着位相$(\{a,b\},\{\mathrm{\varnothing },\{a,b\}\})$への恒等写像$f:\{a,b\}\to \{a,b\}$は連続写像になり、密着位相の部分集合$\{a,b\}$は連結であるがその逆像$f^{\bullet }\left(\{a,b\}\right)=\{a,b\}$は離散位相では連結ではない。
従って題意は成り立つ。

(3)

任意の$y_0,y_1\in f\left(A\right)$に対しある$x_0,x_1\in A$が存在し、$f\left(x_0\right)=y_0,f\left(x_1\right)=y_1$となる。
$(A,{\mathcal{O}}_A)$は弧状連結なので連続写像$g:[0,1]\to X$が存在し、$g\left(0\right)=x_0,g\left(1\right)=x_1$となる。
これより合成写像$f\circ g$は連続写像となり、$f\circ g:[0,1]\to f\left(A\right)$は$f\circ g\left(0\right)=f\left(x_0\right)=y_0,f\circ g\left(1\right)=f\left(x_1\right)=y_1$となる。
従って$(f\left(A\right),{\mathcal{O}}_{f\left(A\right)})$は弧状連結となる。

(4)

(2)で連結を弧状連結にすればいい。