\(c=1\)のとき、

\begin{align*} a\rightarrow b\rightarrow1 & =a\rightarrow b\\ & =a^{b}\\ & =a\uparrow^{1}b \end{align*} となるので\(c=1\)で成り立つ。

\(c=k+1\)のとき、

\(c=k\)のとき成り立つと仮定すると、
\begin{align*} a\rightarrow b\rightarrow k+1 & =a\rightarrow\left(a\rightarrow b-1\rightarrow k+1\right)\rightarrow k\\ & =a\uparrow^{k}\left(a\rightarrow b-1\rightarrow k+1\right)\\ & =\underbrace{a\uparrow^{k}a\uparrow^{k}\cdots a\uparrow^{k}a}_{b-1\;copies\;of\;a}\uparrow^{k}\left(a\rightarrow1\rightarrow k+1\right)+\sum_{j=0}^{b-2}\left\{ \underbrace{a\uparrow^{k}a\uparrow^{k}\cdots a\uparrow^{k}a\uparrow^{k}}_{j\;copies\;of\;a\uparrow^{k}}\left(a\rightarrow b-j\rightarrow k+1\right)-\underbrace{a\uparrow^{k}a\uparrow^{k}\cdots a\uparrow^{k}a\uparrow^{k}}_{j+1\;copies\;of\;a\uparrow^{k}}\left(a\rightarrow b-1-j\rightarrow k+1\right)\right\} \\ & =\underbrace{a\uparrow^{k}a\uparrow^{k}\cdots a\uparrow^{k}a}_{b-1\;copies\;of\;a}\uparrow^{k}\left(a\rightarrow1\rightarrow k+1\right)\\ & =\underbrace{a\uparrow^{k}a\uparrow^{k}\cdots a\uparrow^{k}a}_{b-1\;copies\;of\;a}\uparrow^{k}a\\ & =\underbrace{a\uparrow^{k}a\uparrow^{k}\cdots a\uparrow^{k}a}_{b\;copies\;of\;a}\\ & =a\uparrow^{k+1}b \end{align*} となり、\(c=k+1\)でも成り立つ。
故に数学的帰納法より題意は成り立つ。