(1)

距離空間\(\Leftrightarrow\)離散空間

\(\Rightarrow\)

距離空間\(\left(X,d\right)\)があるとき、\(x\in X\)での\(\epsilon\)近傍として\(U\left(x,\frac{1}{2}d\left(x,X\setminus\left\{ x\right\} \right)\right)\)をとると、\(X\)は有限集合なので\(U\left(x,\frac{1}{2}d\left(x,X\setminus\left\{ x\right\} \right)\right)=\left\{ x\right\} \)となり、これは開集合である。
任意の\(x\in X\)に対し成り立つので、任意の\(x\)に対し、\(\left\{ x\right\} \)は開集合であるので離散空間となる。

\(\Leftarrow\)

離散空間\(\left(X,2^{X}\right)\)があるとき、\(x,y\in X\)を選び距離\(d\left(x,y\right)\)を
\[ d\left(x,y\right)=\begin{cases} 0 & x=y\\ 1 & x\ne y \end{cases} \] と定めると、
非退化性
\[ \forall x,y\in X,d\left(x,y\right)=0\Leftrightarrow x=y \] 対称性
\[ \forall x,y\in X,d\left(x,y\right)=d\left(y,x\right) \] 3角不等式
\[ \forall x,y,z\in X,d\left(x,y\right)\leq d\left(x,z\right)+d\left(z,y\right) \] を満たすので距離空間になる。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

\(T_{1}\)空間\(\Leftrightarrow\)離散空間

\(\Rightarrow\)

\(T_{1}\)空間であるので異なる2点\(x,y\in X\)に対し、ある開集合\(U_{x,y}\)が存在し、\(x\in U_{x,y}\land y\notin U_{x,y}\)となる。
ここで、
\begin{align*} \bigcap_{y\in X\setminus x}U_{x,y} & \subseteq\bigcap_{y\in X\setminus x}X\setminus\left\{ y\right\} \\ & =X\cap\bigcap_{y\in X\setminus x}\left\{ y\right\} ^{c}\\ & =X\cap\left(\bigcup_{y\in X\setminus x}\left\{ y\right\} \right)^{c}\\ & =X\cap\left(X\setminus\left\{ x\right\} \right)^{c}\\ & =\left\{ x\right\} \end{align*} \begin{align*} \bigcap_{y\in X\setminus x}U_{x,y} & \supseteq\bigcap_{y\in X\setminus x}\left\{ x\right\} \\ & =\left\{ x\right\} \bigcap_{y\in X\setminus x}X\\ & =\left\{ x\right\} \end{align*} より、\(\bigcap_{y\in X\setminus x}U_{x,y}=\left\{ x\right\} \)となる。
これより、有限個の開集合\(U_{x,y}\)の積集合は開集合なので、任意の\(x\)に対し、\(\left\{ x\right\} \)が開集合となるので離散空間となる。

\(\Leftarrow\)

離散空間なので明らかに\(T_{1}\)空間である。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

\(T_{2}\)空間\(\Leftrightarrow\)離散空間

\(\Rightarrow\)

\(T_{2}\)空間ならば\(T_{1}\)空間であり、\(T_{1}\)空間であるとき離散空間なので\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

離散空間なので明らかに\(T_{2}\)空間である。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

離散空間\(\Rightarrow T_{3}\)空間

\(\Rightarrow\)

離散空間であるので明らかに\(T_{3}\)空間である。

逆は一般的に成り立たない。

反例で示す。
反例は密着位相\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)である。
これの閉集合は\(\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} \right\} \)である
元\(x\in\left\{ a,b\right\} \)と閉集合\(F\subseteq\left\{ a,b\right\} \)が\(\left\{ x\right\} \cap F=\emptyset\)となるのは\(F=\emptyset\)のときのみであるが任意の開集合を\(\emptyset,\left\{ a,b\right\} \)ととれば\(x\in\left\{ a,b\right\} ,\emptyset\subseteq\emptyset,\emptyset\cap\emptyset=\emptyset\)となるので\(T_{3}\)空間となる。
しかし、これは離散位相ではない。
これより逆は一般的に成り立たない。

\(T_{3}\)空間\(\Rightarrow T_{4}\)空間

\(\Rightarrow\)

\(T_{3}\)空間であるので、任意の元\(x\in X\)と任意の閉集合\(F_{1}\subseteq X\)に対し、ある開集合\(U_{x,F_{1}},V_{x,F_{1}}\)が存在し、\(x\notin F_{1}\)ならば、\(x\in U_{x,F_{1}},F_{1}\subseteq V_{x,F_{1}},U_{x,F_{1}}\cap V_{x,F_{1}}=\emptyset\)を満たす。
このとき、
\begin{align*} & x\in U_{x,F_{1}}\land F_{1}\subseteq V_{x,F_{1}}\land U_{x,F_{1}}\cap V_{x,F_{1}}=\emptyset\\ \Rightarrow & x\in U_{x,F_{1}}\land F_{1}\subseteq V_{x,F_{1}}\land U_{x,F_{1}}\subseteq V_{x,F_{1}}^{c}\\ \Leftrightarrow & x\in U_{x,F_{1}}\land F_{1}\subseteq V_{x,F_{1}}\land V_{x,F_{1}}\subseteq U_{x,F_{1}}^{c}\\ \Rightarrow & x\in U_{x,F_{1}}\land F_{1}\subseteq U_{x,F_{1}}^{c} \end{align*} となる。
同様にすると、\(x\in V_{x,F_{1}}^{c}\land F_{1}\subseteq V_{x,F_{1}}\)となる。
ここで閉集合\(F_{2}\subseteq X\)を\(F_{1}\cap F_{2}=\emptyset\)となるようにとる。
このとき、
\[ U'=\bigcup_{x\in F_{2}}U_{x,F_{1}} \] \[ V'=\bigcap_{x\in F_{2}}V_{x,F_{1}} \] とすると、
\begin{align*} U' & =\bigcup_{x\in F_{2}}U_{x,F_{1}}\\ & \supseteq\bigcup_{x\in F_{2}}\left\{ x\right\} \\ & =F_{2} \end{align*} \begin{align*} V' & =\bigcap_{x\in F_{2}}V_{x,F_{1}}\\ & \supseteq\bigcup_{x\in F_{2}}F_{1}\\ & =F_{1} \end{align*} となる。
このとき、\(U_{x,F_{1}}\cap V_{x,F_{1}}=\emptyset\)なので、
\begin{align*} \bigcup_{x\in F_{2}}\left(U_{x,F_{1}}\cap V_{x,F_{1}}\right)=\emptyset & \Rightarrow\left(\bigcup_{x\in F_{2}}U_{x,F_{1}}\right)\cap\left(\bigcup_{x\in F_{2}}V_{x,F_{1}}\right)=\emptyset\\ & \Rightarrow\left(\bigcup_{x\in F_{2}}U_{x,F_{1}}\right)\cap\left(\bigcap_{x\in F_{2}}V_{x,F_{1}}\right)=\emptyset\\ & \Leftrightarrow U'\cap V'=\emptyset \end{align*} となる。
また、有限個の開集合の和集合・積集合なので\(U',V'\)は開集合となる。
これより、任意の閉集合\(F_{1},F_{2}\subseteq X\)に対し、ある開集合\(U',V'\)が存在し、\(F_{1}\cap F_{2}=\emptyset\)ならば、\(F_{1}\subseteq V',F_{2}\subseteq U',U'\cap V'=\emptyset\)を満たす。
従って\(T_{4}\)空間となる。

逆は一般的に成り立たない。

反例で示す。
反例はシェルピンスキー空間\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)である。
これの閉集合は\(\left\{ \emptyset,\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \)となる。
閉集合\(F_{1},F_{2}\subseteq\left\{ a,b\right\} \)が\(F_{1}\cap F_{2}=\emptyset\)となるのは\(F_{1}=\emptyset\)または\(F_{2}=\emptyset\)のときのみなので\(T_{4}\)空間となる。
しかし元\(a\)と閉集合\(\left\{ b\right\} \)が開集合で分離できないので\(T_{3}\)空間ではない。
従って逆は一般的に成り立たない。

(2)

\(\Rightarrow\)

離散空間のとき、明らかに\(T_{0}\)空間となる。

逆は一般的に成り立たない。

反例で示す。
シェルピンスキー空間\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)は\(T_{0}\)空間であるが離散空間ではない。

(3)

\(\Rightarrow\)は一般的に成り立たない

反例で示す。
反例はシェルピンスキー空間\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)である。
これの閉集合は\(\left\{ \emptyset,\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \)となる。
これは異なる2元は\(a,b\)しかなく、\(a\in\left\{ a\right\} \land b\notin\left\{ a\right\} \)となるので\(T_{0}\)空間である。
しかし元\(a\)と閉集合\(\left\{ b\right\} \)が開集合で分離できないので\(T_{3}\)空間ではない。
従って\(\Rightarrow\)は一般的に成り立たない。

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

反例で示す。
反例は密着位相\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)である。
これの閉集合は\(\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} \right\} \)となる。
これは元\(x\in\left\{ a,b\right\} \)と閉集合\(F\subseteq\left\{ a,b\right\} \)が\(x\notin F\)となるのは\(F=\emptyset\)のみなので\(T_{3}\)空間である。
しかし、異なる2元は\(a,b\)しかなく、ある開集合\(U\)が存在し\(\left(a\in U\land b\notin U\right)\cup\left(b\in U\land a\notin U\right)\)を満たさないので\(T_{0}\)空間ではない。

(4)

\(\Rightarrow\)は一般的に成り立たない

反例で示す。
反例は位相空間\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)である。
これの閉集合は\(\left\{ \emptyset,\left\{ c\right\} ,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \)となる。
これは元\(a,b\)を選ぶと\(b\in\left\{ b\right\} \land a\notin\left\{ b\right\} \)となり、元\(b,c\)を選ぶと\(b\in\left\{ b\right\} \land c\notin\left\{ b\right\} \)、元\(a,c\)を選ぶと\(a\in\left\{ a,b\right\} ,c\notin\left\{ a,b\right\} \)となるので\(T_{0}\)空間である。
しかし、閉集合\(\left\{ a\right\} ,\left\{ c\right\} \)を選ぶとある開集合\(U,V\)が存在し\(\left\{ a\right\} \subseteq U,\left\{ c\right\} \subseteq V,U\cap V=\emptyset\)を満たさないので\(T_{4}\)空間ではない。

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

反例で示す。
反例は密着位相\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)である。
これの閉集合は\(\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} \right\} \)となる。
これは閉集合\(F_{1},F_{2}\subseteq\left\{ a,b\right\} \)が\(F_{1}\cap F_{2}=\emptyset\)となるのは\(F_{1}=\emptyset\lor F_{2}=\emptyset\)のみなので\(T_{4}\)空間である。
しかし元\(a,b\)を選ぶと、ある開集合\(U\)が存在し\(\left(a\in U\land b\notin U\right)\cup\left(b\in U\land a\notin U\right)\)を満たさないので\(T_{0}\)空間ではない。

(5)

\(T_{1}\)空間\(\Leftrightarrow\)正則空間

\(T_{1}\)空間という命題を\(T_{1}\)、\(T_{3}\)空間という命題を\(T_{3}\)とする。
\begin{align*} T_{1}\rightarrow T_{3} & \Leftrightarrow\lnot T_{1}\lor T_{3}\\ & \Leftrightarrow\lnot T_{1}\lor\left(T_{1}\land T_{3}\right)\\ & \Leftrightarrow T_{1}\rightarrow\left(T_{1}\land T_{3}\right) \end{align*} となる。
また\(T_{1}\leftarrow\left(T_{1}\land T_{3}\right)\)は常に成り立つので\(T_{1}\leftrightarrow\left(T_{1}\land T_{3}\right)\)となるので\(T_{1}\)空間\(\Leftrightarrow\)正則空間は成り立つ。

\(T_{1}\)空間\(\Leftrightarrow\)正規空間

同様にすればいい。

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これらより、\(T_{1}\)空間\(\Leftrightarrow\)正則空間\(\Leftrightarrow\)正則空間が成り立つ。