指数関数の実部と虚部
指数関数とべき乗の絶対値
指数関数とべき乗の絶対値について以下が成り立つ。
\(\Im\left(z\right)\)は虚部。
指数関数とべき乗の絶対値について以下が成り立つ。
(1)
\[ \left|\exp\left(z\right)\right|=\exp\left(\Re\left(z\right)\right) \](2)
\[ \left|\exp\left(-z\right)\right|=\exp\left(-\Re\left(z\right)\right) \](3)
\[ \left|\exp\left(iz\right)\right|=\exp\left(-\Im\left(z\right)\right) \](4)
\[ \left|\exp\left(-iz\right)\right|=\exp\left(\Im\left(z\right)\right) \](5)
\[ \left|\alpha^{\beta}\right|=\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)} \]-
\(\Re\left(z\right)\)は実部。\(\Im\left(z\right)\)は虚部。
(1)
\begin{align*} \left|\exp\left(z\right)\right| & =\left|\exp\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\right|\\ & =\left|\exp\left(\Re\left(z\right)\right)\exp\left(i\Im\left(z\right)\right)\right|\\ & =\sqrt{\exp\left(\Re\left(z\right)\right)\exp\left(i\Im\left(z\right)\right)\exp\left(\Re\left(z\right)\right)\exp\left(-i\Im\left(z\right)\right)}\\ & =\sqrt{\exp^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)}\\ & =\exp\left(\Re\left(z\right)\right) \end{align*}(2)
(1)より、\begin{align*} \left|\exp\left(-z\right)\right| & =\exp\left(\Re\left(-z\right)\right)\\ & =\exp\left(-\Re\left(z\right)\right) \end{align*} となるので題意は成り立つ。
(3)
(1)より、\begin{align*} \left|\exp\left(iz\right)\right| & =\exp\left(\Re\left(iz\right)\right)\\ & =\exp\left(-\Im\left(z\right)\right) \end{align*} となるので題意は成り立つ。
(4)
(1)より、\begin{align*} \left|\exp\left(-iz\right)\right| & =\exp\left(\Re\left(-iz\right)\right)\\ & =\exp\left(-\Re\left(iz\right)\right)\\ & =\exp\left(\Im\left(z\right)\right) \end{align*} となるので題意は成り立つ。
(5)
\begin{align*} \left|\alpha^{\beta}\right| & =\left|\exp\left(\beta\Log\alpha\right)\right|\\ & =\left|\exp\left\{ \left(\Re\left(\beta\right)+i\Im\left(\beta\right)\right)\left(\ln\left|\alpha\right|+i\Arg\left(\alpha\right)\right)\right\} \right|\\ & =\left|\exp\left\{ \Re\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|-\Im\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)+i\left(\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|+i\Re\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)\right)\right\} \right|\\ & =\exp\left\{ \Re\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|-\Im\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)\right\} \\ & =\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)} \end{align*}ページ情報
| タイトル | 指数関数の実部と虚部 |
| URL | https://www.nomuramath.com/xsk3t49e/ |
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偏角・対数と符号関数の関係
\[
\Arg\left(z\right)=-i\Log\left(\sgn\left(z\right)\right)
\]
偏角・対数の極限
\[
\lim_{x\rightarrow\pm0}\left\{ \Arg\left(\alpha x\right)-\Arg\left(x\right)\right\} =\begin{cases}
\Arg\alpha & x\rightarrow+0\\
\Arg\left(-\alpha\right)-\pi & x\rightarrow-0
\end{cases}
\]
偏角・対数の和と差
\[
\Arg\alpha+\Arg\beta=\Arg\left(\alpha\beta\right)+2\pi\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta\right)
\]
複素指数関数の極形式
\[
\alpha^{\beta}=\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\arg\alpha}e^{i\left(\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|+\Re\left(\beta\right)\arg\alpha\right)}
\]