3角形関数の性質
3角形関数の性質
3角形関数\(\mathrm{tri}\left(x\right)\)は次の性質を満たす。
\(\mathrm{rect}\left(x\right)\)は矩形関数
3角形関数\(\mathrm{tri}\left(x\right)\)は次の性質を満たす。
(1)
\[ \mathrm{tri}\left(-x\right)=\mathrm{tri}\left(x\right) \](2)
\[ \mathrm{tri}\left(x\right)=\mathrm{rect}\left(x\right)*_{x}\mathrm{rect}\left(x\right) \]-
\(f\left(x\right)*_{x}\)g\(\left(x\right)\)は畳み込み積分\(\mathrm{rect}\left(x\right)\)は矩形関数
(1)
3角形関数は偶関数なので明らかに成り立つ。(2)
\begin{align*} \mathrm{rect}\left(x\right)*_{x}\mathrm{rect}\left(x\right) & =\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{rect}\left(t\right)\mathrm{rect}\left(x-t\right)dt\\ & =\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{\text{1}}{2}}\mathrm{rect}\left(t\right)\mathrm{rect}\left(x-t\right)dt\\ & =\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{\text{1}}{2}}\mathrm{rect}\left(x-t\right)dt\\ & =\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{\text{1}}{2}}\mathrm{rect}\left(t-x\right)dt\\ & =\int_{-\frac{1}{2}-x}^{\frac{\text{1}}{2}-x}\mathrm{rect}\left(t\right)dt\cmt{t-x\rightarrow t}\\ & =\int_{-\frac{1}{2}-x}^{\frac{\text{1}}{2}-x}\left(H_{\frac{1}{2}}\left(t+\frac{1}{2}\right)-H_{\frac{1}{2}}\left(t-\frac{1}{2}\right)\right)dt\\ & =\left[\left(t+\frac{1}{2}\right)H_{\frac{1}{2}}\left(t+\frac{1}{2}\right)-\left(t-\frac{1}{2}\right)H_{\frac{1}{2}}\left(t-\frac{1}{2}\right)\right]_{-\frac{\text{1}}{2}-x}^{\frac{\text{1}}{2}-x}\\ & =\left(1-x\right)H_{\frac{1}{2}}\left(1-x\right)-\left(-x\right)H_{\frac{1}{2}}\left(-x\right)-\left\{ \left(-x\right)H_{\frac{1}{2}}\left(-x\right)-\left(-1-x\right)H_{\frac{1}{2}}\left(-1-x\right)\right\} \\ & =\left(1-x\right)H_{\frac{1}{2}}\left(1-x\right)+2xH_{\frac{1}{2}}\left(-x\right)-\left(1+x\right)H_{\frac{1}{2}}\left(-1-x\right)\\ & =\begin{cases} 1-x+2xH-\left(1+x\right) & x<-1\\ 1-x+2x & -1\leq x<0\\ 1-x & 0\leq x<1\\ 0 & 1\leq x \end{cases}\\ & =\begin{cases} 0 & x<-1\\ 1+x & -1\leq x<0\\ 1-x & 0\leq x<1\\ 0 & 1\leq x \end{cases}\\ & =\mathrm{tri}\left(x\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 3角形関数の性質 |
| URL | https://www.nomuramath.com/xtmaead4/ |
| SNSボタン |
(*)分母に1乗と2乗ルートの積分
\[
\int\frac{1}{\left(z+\alpha\right)\sqrt{z^{2}+\beta}}dz=\frac{\tanh^{\bullet}\left(\frac{\alpha z-\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta}\sqrt{\beta+z^{2}}}\right)}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta}}
\]
3角関数の関数の定積分
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\cos x\right)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\sin x\right)dx
\]
対数となる極限
\[
\lim_{\alpha\rightarrow-1}\frac{z^{\alpha+1}}{\alpha+1}=\Log\left(z\right)+\lim_{\alpha\rightarrow-1}\frac{1}{\alpha+1}
\]
『近傍・開近傍・近傍系・開近傍系・基本近傍系・開基・準開基の定義と性質』を更新しました。