完備距離空間の部分集合は完備とは限らない
完備距離空間の部分集合は完備とは限らない
完備距離空間\(\left(X,d_{X}\right)\)の部分集合\(A\subseteq X\)は完備とは限らない。
完備距離空間\(\left(X,d_{X}\right)\)の部分集合\(A\subseteq X\)は完備とは限らない。
反例で示す。
何故なら実数列\(\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は\(\left(0,1\right)\)に含まれるが、その収束先の0は\(\left(0,1\right)\)に含まれないからである。
何故なら\(x_{1}=1,x_{2}=1.4,x_{3}=1.41\)と\(x_{n}\)を\(\sqrt{2}\)の小数第\(n\)位までの実数とすると、\(x_{n}\in\mathbb{Q}\)であるが\(\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}\)である。
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\(\mathbb{R}\)は完備であるがその部分集合\(\left(0,1\right)\)は完備ではない。何故なら実数列\(\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は\(\left(0,1\right)\)に含まれるが、その収束先の0は\(\left(0,1\right)\)に含まれないからである。
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\(\mathbb{R}\)は完備であるがその部分集合\(\mathbb{Q}\)は完備ではない。何故なら\(x_{1}=1,x_{2}=1.4,x_{3}=1.41\)と\(x_{n}\)を\(\sqrt{2}\)の小数第\(n\)位までの実数とすると、\(x_{n}\in\mathbb{Q}\)であるが\(\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}\)である。
ページ情報
| タイトル | 完備距離空間の部分集合は完備とは限らない |
| URL | https://www.nomuramath.com/xutqma6u/ |
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チェビシェフ距離は距離空間
\[
d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\max\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|,\cdots,\left|x_{n}-y_{n}\right|\right)
\]
距離空間での収束の定義と開集合による別定義
\[
\exists a\in X,\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},N<n\rightarrow d\left(a_{n},a\right)<\epsilon
\]
一様連続であれば各点連続
一様連続であれば各点連続である。
部分距離空間・直積距離空間の定義
\[
d\left(P,Q\right)^{2}:=\sum_{k=1}^{n}d_{k}\left(p_{k},q_{k}\right)^{2}
\]