階乗の多重階乗表示
階乗の多重階乗表示
\(n\in\mathbb{N}\)とする。
\[ n!=\prod_{k=0}^{j-1}\left(n-k\right)!_{j}\cnd{j\in\mathbb{N}\;\land\;n\geq j-1} \]
\(n\in\mathbb{N}\)とする。
\[ n!=\prod_{k=0}^{j-1}\left(n-k\right)!_{j}\cnd{j\in\mathbb{N}\;\land\;n\geq j-1} \]
*
\(x!_{n}\)は多重階乗\(1\)から\(n\)までの数字は\(\left(n\right)!_{j},\left(n-1\right)!_{j},\cdots,\left(n-\left(j-1\right)\right)!_{j}\)のどれか1つのみに含まれているので、与式は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 階乗の多重階乗表示 |
| URL | https://www.nomuramath.com/xvv3hm0a/ |
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(拡張)多重階乗の逆数和
\[
\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{\left(ak+b\right)!_{a}}=\frac{e^{\frac{1}{a}}a^{\frac{b}{a}}\Gamma\left(\frac{b}{a}+1\right)}{b!_{a}}\left(\frac{\Gamma\left(n+\frac{b}{a}+1,\frac{1}{a}\right)}{\Gamma\left(n+\frac{b}{a}+1\right)}-\frac{\Gamma\left(\frac{b}{a},\frac{1}{a}\right)}{\Gamma\left(\frac{b}{a}\right)}\right)
\]
拡張多重階乗の漸化式
\[
x!^{n}=x\left(x-n\right)!^{n}
\]
ウォリス積分の拡張2重階乗表示
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta=\frac{\left(n-1\right)!^{2}}{\left(n\right)!^{2}}\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\]
負の多重階乗
\[
\left(-\left(qn+r\right)\right)!_{n}=\frac{\left(-1\right)^{q}}{\left(qn-\left(n-r\right)\right)!_{n}}
\]