(1)

\(\triangle ABC\)の頂点\(A,B,C\)の対辺の中点を\(P,Q,R\)とする。

\begin{align*} \left|GBC\right|:\left|GCA\right|:\left|GAB\right| & =1:\frac{\left|GCA\right|}{\left|GBC\right|}:\frac{\left|GAB\right|}{\left|GBC\right|}\\ & =1:\frac{\left|RCA\right|}{\left|RBC\right|}:\frac{\left|QAB\right|}{\left|QBC\right|}\\ & =1:\frac{\left|AR\right|}{\left|RB\right|}:\frac{\left|AQ\right|}{\left|QC\right|}\\ & =1:1:1 \end{align*} これより、重心は3角形の内部にあるので、
\begin{align*} \boldsymbol{G} & =\frac{\left|GBC\right|\boldsymbol{A}+\left|GCA\right|\boldsymbol{B}+\left|GAB\right|\boldsymbol{C}}{\left|GBC\right|+\left|GCA\right|+\left|GAB\right|}\\ & =\frac{\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C}}{3} \end{align*} となる。

(2)

\(\triangle ABC\)の頂点\(A,B,C\)の対辺の中点を\(P,Q,R\)とする。
また、外接円の半径を\(R\)とする。

\begin{align*} \left|HBC\right|:\left|HCA\right|:\left|HAB\right| & =1:\frac{\left|HCA\right|}{\left|HBC\right|}:\frac{\left|HAB\right|}{\left|HBC\right|}\\ & =1:\frac{\frac{1}{2}\left|HC\right|\left|AR\right|}{\frac{1}{2}\left|HC\right|\left|RB\right|}:\frac{\frac{1}{2}\left|HB\right|\left|QA\right|}{\frac{1}{2}\left|HB\right|\left|CQ\right|}\\ & =1:\frac{\left|AR\right|}{\left|RB\right|}:\frac{\left|QA\right|}{\left|CQ\right|}\\ & =1:\frac{\left|CR\right|\frac{\left|AR\right|}{\left|CR\right|}}{\left|CR\right|\frac{\left|RB\right|}{\left|CR\right|}}:\frac{\left|BQ\right|\frac{\left|QA\right|}{\left|BQ\right|}}{\left|BQ\right|\frac{\left|CQ\right|}{\left|BQ\right|}}\\ & =1:\frac{\tan^{-1}A}{\tan^{-1}B}:\frac{\tan^{-1}A}{\tan^{-1}C}\\ & =\tan A:\tan B:\tan C\tag{(*)}\\ & =\frac{\sin A}{\cos A}:\frac{\sin B}{\cos B}:\frac{\sin C}{\cos C}\\ & =\frac{a}{2R\cos A}:\frac{b}{2R\cos B}:\frac{c}{2R\cos C}\cmt{\because\text{正弦定理}}\\ & =\frac{a}{\cos A}:\frac{b}{\cos B}:\frac{c}{\cos C} \end{align*} これより、
\begin{align*} \boldsymbol{H} & =\frac{\left|HBC\right|\boldsymbol{A}+\left|HCA\right|\boldsymbol{B}+\left|HAB\right|\boldsymbol{C}}{\left|HBC\right|+\left|HCA\right|+\left|HAB\right|}\\ & =\frac{\tan A\boldsymbol{A}+\tan B\boldsymbol{B}+\tan C\boldsymbol{C}}{\tan A+\tan B+\tan C}\\ & =\frac{\frac{a}{\cos A}\boldsymbol{A}+\frac{b}{\cos B}\boldsymbol{B}+\frac{c}{\cos C}\boldsymbol{C}}{\frac{a}{\cos A}+\frac{b}{\cos B}+\frac{c}{\cos C}} \end{align*} また、\(\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C\)なので、
\begin{align*} \boldsymbol{H} & =\frac{\tan A\boldsymbol{A}+\tan B\boldsymbol{B}+\tan C\boldsymbol{C}}{\tan A+\tan B+\tan C}\\ & =\frac{\tan A\boldsymbol{A}+\tan B\boldsymbol{B}+\tan C\boldsymbol{C}}{\tan A\tan B\tan C} \end{align*}

(3)

内接円の半径を\(r\)とする。
\begin{align*} \left|IBC\right|:\left|ICA\right|:\left|IAB\right| & =\frac{ra}{2}:\frac{rb}{2}:\frac{rc}{2}\\ & =a:b:c \end{align*} これより、
\begin{align*} \boldsymbol{I} & =\frac{\left|IBC\right|\boldsymbol{A}+\left|ICA\right|\boldsymbol{B}+\left|IAB\right|\boldsymbol{C}}{\left|IBC\right|+\left|ICA\right|+\left|IAB\right|}\\ & =\frac{a\boldsymbol{A}+b\boldsymbol{B}+c\boldsymbol{C}}{a+b+c}\tag{(*)}\\ & =\frac{\sin A\boldsymbol{A}+\sin B\boldsymbol{B}+\sin C\boldsymbol{C}}{\sin A+\sin B+\sin C}\cmt{\because\text{正弦定理}} \end{align*}

(3)-2

原点を\(O\)とする。
\begin{align*} 0 & =\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AI}\\ & =\left(\frac{\overrightarrow{AB}}{\left|AB\right|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{\left|AC\right|}\right)s-\left\{ \overrightarrow{AB}+\left(\frac{\overrightarrow{BA}}{\left|BA\right|}+\frac{\overrightarrow{BC}}{\left|BC\right|}\right)t\right\} \\ & =\left(\frac{\overrightarrow{AB}}{\left|AB\right|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{\left|AC\right|}\right)s-\left\{ \overrightarrow{AB}+\left(-\frac{\overrightarrow{AB}}{\left|AB\right|}+\frac{-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{\left|BC\right|}\right)t\right\} \\ & =\left\{ \frac{s}{c}-1+\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)t\right\} \overrightarrow{AB}+\left(\frac{s}{b}-\frac{t}{a}\right)\overrightarrow{AC} \end{align*} これより、
\[ \begin{cases} \frac{s}{c}-1+\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)t=0\\ \frac{s}{b}-\frac{t}{a}=0 \end{cases} \] 解くと、
\[ \begin{cases} s=\frac{bc}{a+b+c}\\ t=\frac{ac}{a+b+c} \end{cases} \] これより、
\begin{align*} \boldsymbol{I} & =\overrightarrow{OI}\\ & =\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AI}\\ & =\overrightarrow{OA}+\left(\frac{\overrightarrow{AB}}{\left|AB\right|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{\left|AC\right|}\right)\frac{bc}{a+b+c}\\ & =\overrightarrow{OA}+\left(\frac{\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}}{c}+\frac{\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}}{b}\right)\frac{bc}{a+b+c}\\ & =\overrightarrow{OA}+\left(-\frac{b+c}{bc}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{c}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{b}\overrightarrow{OC}\right)\frac{bc}{a+b+c}\\ & =\overrightarrow{OA}+\frac{-\left(b+c\right)\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}+c\overrightarrow{OC}}{a+b+c}\\ & =\frac{a\boldsymbol{A}+b\boldsymbol{B}+c\boldsymbol{C}}{a+b+c} \end{align*}

(4)

外心は外接円の中心なので、外接円の半径を\(R\)とすると、\(R=\left|JA\right|=\left|JB\right|=\left|JC\right|\)、円周角と中心角の関係より、\(\angle CAB=2\angle CJB,\angle ABC=2\angle AJC,\angle BCA=2\angle BJA\)となる。

これより、
\begin{align*} \left|JBC\right|:\left|JCA\right|:\left|JAB\right| & =\frac{R^{2}\sin\left(\angle CJB\right)}{2}:\frac{R^{2}\sin\left(\angle AJC\right)}{2}:\frac{R^{2}\sin\left(\angle BJA\right)}{2}\\ & =\sin\left(2A\right):\sin\left(2B\right):\sin\left(2C\right)\tag{(*)}\\ & =2\sin A\cos A:2\sin B\cos B:2\sin C\cos C\\ & =\frac{a}{R}\cos A:\frac{b}{R}\cos B:\frac{c}{R}\cos C\cmt{\because\text{正弦定理}}\\ & =a\cos A:b\cos B:c\cos C \end{align*} 故に
\begin{align*} \boldsymbol{J} & =\frac{\left|JBC\right|\boldsymbol{A}+\left|JCA\right|\boldsymbol{B}+\left|JAB\right|\boldsymbol{C}}{\left|JBC\right|+\left|JCA\right|+\left|JAB\right|}\\ & =\frac{a\cos A\boldsymbol{A}+b\cos B\boldsymbol{B}+c\cos C\boldsymbol{C}}{a\cos A+b\cos B+c\cos C}\\ & =\frac{\sin\left(2A\right)\boldsymbol{A}+\sin\left(2B\right)\boldsymbol{B}+\sin\left(2C\right)\boldsymbol{C}}{\sin\left(2A\right)+\sin\left(2B\right)+\sin\left(2C\right)} \end{align*}

(5)

\(\triangle ABC=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BA}\)として、傍心円の半径を\(r_{a}\)とする。
\begin{align*} \triangle BI_{a}C:\triangle CI_{a}A:\triangle AI_{a}B & =\left|BI_{a}C\right|:-\left|CI_{a}A\right|:-\left|AI_{a}B\right|\\ & =\left|BC\right|r_{a}:-\left|CA\right|r_{a}:-\left|AB\right|r_{a}\\ & =-\left|BC\right|:\left|CA\right|:\left|AB\right|\\ & =-a:b:c \end{align*} これより、
\begin{align*} \boldsymbol{I}_{a} & =\frac{\triangle BI_{a}C\boldsymbol{A}+\triangle CI_{a}A\boldsymbol{B}+\triangle AI_{a}B\boldsymbol{C}}{\triangle BI_{a}C+\triangle CI_{a}A+\triangle AI_{a}B}\\ & =\frac{-a\boldsymbol{A}+b\boldsymbol{B}+c\boldsymbol{C}}{-a+b+c} \end{align*} \(I_{b},I_{c}\)についても同様である。