(1)

x軸上を初期値\(x=0\)とし、現在地\(x=n\)のとき、確率\(p\)で\(x=n+1\)に移動し、確率\(q\)で\(x=n-1\)に移動すると考える。
\(x=-a\)でAさんが破産、\(x=b\)でBさんが破産になる。
現在、位置\(n\)にいるとき、いつか\(-a\)にいく確率を\(P\left(n\right)\)で表すと、
\[ P\left(n\right)=qP\left(n-1\right)+pP\left(n+1\right) \] すなわち、
\[ pP\left(n+1\right)-P\left(n\right)+qP\left(n-1\right)=0 \] となる。ただし\(-a<n<b\)とする。
初期条件は\(x=-a\)のとき、すでにAさんは破産しているので\(P\left(-a\right)=1\)、\(x=b\)のときBさんが破産しているので\(P\left(b\right)=0\)となる。

\(p\ne\frac{1}{2}\)のとき

特性方程式
\[ px^{2}-x+q=0 \] の解は、\(x=\frac{1\pm\sqrt{1-4pq}}{2p}\)なので、漸化式の解は、
\begin{align*} P\left(n\right) & =c_{1}\left(\frac{1-\sqrt{1-4pq}}{2p}\right)^{n}+c_{2}\left(\frac{1+\sqrt{1-4pq}}{2p}\right)^{n}\\ & =c_{1}\left(\frac{1-\sqrt{1-4p\left(1-p\right)}}{2p}\right)^{n}+c_{2}\left(\frac{1+\sqrt{1-4p\left(1-p\right)}}{2p}\right)^{n}\\ & =c_{1}\left(\frac{1-\sqrt{-4p^{2}-4p+1}}{2p}\right)^{n}+c_{2}\left(\frac{1+\sqrt{-4p^{2}-4p+1}}{2p}\right)^{n}\\ & =c_{1}\left(\frac{1-\sqrt{\left(1-2p\right)}}{2p}\right)^{n}+c_{2}\left(\frac{1+\sqrt{\left(1-2p\right)}}{2p}\right)^{n}\\ & =c_{1}\left(\frac{1-\left|2p-1\right|}{2p}\right)^{n}+c_{2}\left(\frac{1+\left|2p-1\right|}{2p}\right)^{n}\\ & =c_{1}\left(\frac{1-\left(2p-1\right)}{2p}\right)^{n}+c_{2}\left(\frac{1+\left(2p-1\right)}{2p}\right)^{n}\cmt{2p-1<0\rightarrow\left(c_{1}\rightarrow c_{2},c_{2}\rightarrow c_{1}\right)}\\ & =c_{1}\left(\frac{2\left(1-p\right)}{2p}\right)^{n}+c_{2}\left(\frac{2p}{2p}\right)^{n}\\ & =c_{1}\left(\frac{q}{p}\right)^{n}+c_{2} \end{align*} となる。
初期条件より、
\begin{align*} \left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{c} P\left(-a\right)\\ P\left(b\right) \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} \left(\frac{q}{p}\right)^{-a} & 1\\ \left(\frac{q}{p}\right)^{b} & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{2} \end{array}\right) \end{align*} \(c_{1},c_{2}\)について解くと、
\begin{align*} \left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{2} \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} \left(\frac{q}{p}\right)^{-a} & 1\\ \left(\frac{q}{p}\right)^{b} & 1 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)\\ & =\frac{1}{\left(\frac{q}{p}\right)^{-a}-\left(\frac{q}{p}\right)^{b}}\left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ -\left(\frac{q}{p}\right)^{b} & \left(\frac{q}{p}\right)^{-a} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)\\ & =\frac{1}{\left(\frac{q}{p}\right)^{-a}-\left(\frac{q}{p}\right)^{b}}\left(\begin{array}{c} 1\\ -\left(\frac{q}{p}\right)^{b} \end{array}\right) \end{align*} となる。
故に
\begin{align*} P\left(n\right) & =c_{1}\left(\frac{q}{p}\right)^{n}+c_{2}\\ & =\frac{1}{\left(\frac{q}{p}\right)^{-a}-\left(\frac{q}{p}\right)^{b}}\left(\frac{q}{p}\right)^{n}-\frac{\left(\frac{q}{p}\right)^{b}}{\left(\frac{q}{p}\right)^{-a}-\left(\frac{q}{p}\right)^{b}} \end{align*} 初期値\(n=0\)を代入すると、
\begin{align*} P\left(0\right) & =\frac{1}{\left(\frac{q}{p}\right)^{-a}-\left(\frac{q}{p}\right)^{b}}-\frac{\left(\frac{q}{p}\right)^{b}}{\left(\frac{q}{p}\right)^{-a}-\left(\frac{q}{p}\right)^{b}}\\ & =\frac{1-\left(\frac{q}{p}\right)^{b}}{\left(\frac{q}{p}\right)^{-a}-\left(\frac{q}{p}\right)^{b}}\\ & =\frac{\left(\frac{q}{p}\right)^{a}-\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}}{1-\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}} \end{align*} となる。

\(p=\frac{1}{2}\)のとき

\(p=\frac{1}{2}\)のとき\(q=1-p=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)となるので漸化式は
\[ \frac{1}{2}P\left(n+1\right)-P\left(n\right)+\frac{1}{2}P\left(n-1\right)=0 \] となる。
特性方程式は
\[ \frac{1}{2}x^{2}-x+\frac{1}{2}=0 \] となり、この解は\(x=1\)となるので漸化式の解は、
\begin{align*} P\left(n\right) & =\left(c_{1}n+c_{2}\right)1^{n}\\ & =c_{1}n+c_{2} \end{align*} となる。
初期条件より、
\begin{align*} \left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{c} P\left(-a\right)\\ P\left(b\right) \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} -a & 1\\ b & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{2} \end{array}\right) \end{align*} となり、\(c_{1},c_{2}\)について解くと、
\begin{align*} \left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{2} \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} -a & 1\\ b & 1 \end{array}\right)^{-1}\\ & =\frac{1}{-a-b}\left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ -b & -a \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)\\ & =\frac{1}{a+b}\left(\begin{array}{c} -1\\ b \end{array}\right) \end{align*} となる。
故に、
\begin{align*} P\left(n\right) & =c_{1}n+c_{2}\\ & =\frac{-n+b}{a+b} \end{align*} 初期値\(n=0\)を代入すると、
\[ P\left(0\right)=\frac{b}{a+b} \]

-

これらより、
\[ \begin{cases} \frac{\left(\frac{q}{p}\right)^{a}-\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}}{1-\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}} & p\ne\frac{1}{2}\\ \frac{b}{a+b} & p=\frac{1}{2} \end{cases} \] となる。

補足

\(p\ne\frac{1}{2}\)のときのAさんの破産確率
\[ \frac{\left(\frac{q}{p}\right)^{a}-\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}}{1-\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}} \] で\(p\rightarrow\frac{1}{2}\)の極限をとると、
\begin{align*} \lim_{p\rightarrow\frac{1}{2}}P\left(0\right) & =\lim_{p\rightarrow\frac{1}{2}}\frac{\left(\frac{q}{p}\right)^{a}-\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}}{1-\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}}\\ & =\lim_{p\rightarrow\frac{1}{2}}\frac{\left(a\left(\frac{q}{p}\right)^{a-1}-\left(a+b\right)\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b-1}\right)\frac{d}{dp}\left(\frac{q}{p}\right)}{\left(a+b\right)\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b-1}\frac{d}{dp}\left(\frac{q}{p}\right)}\\ & =\lim_{p\rightarrow\frac{1}{2}}\frac{a\left(\frac{q}{p}\right)^{a-1}-\left(a+b\right)\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b-1}}{\left(a+b\right)\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b-1}}\\ & =\frac{b}{a+b} \end{align*} となり\(p=\frac{1}{2}\)の式となる。

(2)

平均勝負回数\(f\left(n\right)\)は
\[ f\left(n\right)=1+pf\left(n+1\right)+qf\left(n-1\right) \] となるので、
\[ pf\left(n+1\right)-f\left(n\right)+qf\left(n-1\right)=-1 \] となる。
初期条件は\(f\left(-a\right)=f\left(b\right)=0\)である。

\(p\ne\frac{1}{2}\)のとき

漸化式の特性方程式は
\[ px^{2}-x+q=0 \] となり、この解は\(x=\frac{1\pm\sqrt{1-4pq}}{2p}\)となり、\(p\ne\frac{1}{2}\)なので\(1-4pq=1-4p\left(1-p\right)=4p^{2}-4p+1=\left(2p-1\right)^{2}>0\)となり重解とはならない。
また、各係数の和は\(p-1+q=0\)となるので漸化式の一般解は
\begin{align*} f\left(n\right) & =c_{1}\left(-1+\frac{1}{p}\right)^{n-1}+c_{2}+\frac{-1}{2p-1}n\\ & =c_{1}\left(\frac{q}{p}\right)^{n-1}+c_{2}+\frac{1}{1-2p}n \end{align*} となり、初期条件より、
\begin{align*} \left(\begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{c} f\left(-a\right)\\ f\left(b\right) \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} \left(\frac{q}{p}\right)^{-a-1} & 1\\ \left(\frac{q}{p}\right)^{b-1} & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{2} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} \frac{-a}{1-2p}\\ \frac{b}{1-2p} \end{array}\right) \end{align*} となる。
\(c_{1},c_{2}\)について解くと、
\begin{align*} \left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{2} \end{array}\right) & =-\left(\begin{array}{cc} \left(\frac{q}{p}\right)^{-a-1} & 1\\ \left(\frac{q}{p}\right)^{b-1} & 1 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c} \frac{-a}{1-2p}\\ \frac{b}{1-2p} \end{array}\right)\\ & =\frac{-1}{\left(\frac{q}{p}\right)^{-a-1}-\left(\frac{q}{p}\right)^{b-1}}\left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ -\left(\frac{q}{p}\right)^{b-1} & \left(\frac{q}{p}\right)^{-a-1} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \frac{-a}{1-2p}\\ \frac{b}{1-2p} \end{array}\right)\\ & =\frac{1}{1-2p}\cdot\frac{-1}{\left(\frac{q}{p}\right)^{-a-1}-\left(\frac{q}{p}\right)^{b-1}}\left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ -\left(\frac{q}{p}\right)^{b-1} & \left(\frac{q}{p}\right)^{-a-1} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} -a\\ b \end{array}\right)\\ & =\frac{1}{1-2p}\cdot\frac{-1}{\left(\frac{q}{p}\right)^{-a-1}-\left(\frac{q}{p}\right)^{b-1}}\left(\begin{array}{c} -\left(a+b\right)\\ a\left(\frac{q}{p}\right)^{b-1}+b\left(\frac{q}{p}\right)^{-a-1} \end{array}\right)\\ & =\frac{1}{1-2p}\cdot\frac{\left(\frac{q}{p}\right)^{a+1}}{\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}-1}\left(\begin{array}{c} -\left(a+b\right)\\ a\left(\frac{q}{p}\right)^{b-1}+b\left(\frac{q}{p}\right)^{-a-1} \end{array}\right)\\ & =\frac{1}{1-2p}\cdot\frac{1}{\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}-1}\left(\begin{array}{c} -\left(a+b\right)\left(\frac{q}{p}\right)^{a+1}\\ a\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}+b \end{array}\right) \end{align*} これより、
\begin{align*} f\left(n\right) & =c_{1}\left(\frac{q}{p}\right)^{n-1}+c_{2}+\frac{1}{1-2p}n\\ & =\frac{1}{1-2p}\cdot\frac{1}{\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}-1}\left\{ -\left(a+b\right)\left(\frac{q}{p}\right)^{a+1}\left(\frac{q}{p}\right)^{n-1}+a\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}+b\right\} +\frac{1}{1-2p}n\\ & =\frac{1}{1-2p}\cdot\frac{1}{\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}-1}\left\{ -\left(a+b\right)\left(\frac{q}{p}\right)^{a+n}+a\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}+b+\left(\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}-1\right)n\right\} \\ & =\frac{1}{1-2p}\cdot\frac{1}{\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}-1}\left\{ \left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}\left(a-n\right)-\left(\frac{q}{p}\right)^{a+n}\left(a+b\right)+b-n\right\} \end{align*} 初期値\(n=0\)を代入すると、
\begin{align*} f\left(0\right) & =\frac{1}{\left(1-2p\right)\left(\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}-1\right)}\left(\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}a-\left(\frac{q}{p}\right)^{a}\left(a+b\right)+b\right)\\ & =\frac{1}{\left(1-2p\right)\left(\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}-1\right)}\left(a\left(\frac{q}{p}\right)^{a}\left(\left(\frac{q}{p}\right)^{b}-1\right)+b\left(1-\left(\frac{q}{p}\right)^{a}\right)\right) \end{align*}

\(p=\frac{1}{2}\)のとき、

\(p=\frac{1}{2}\)のとき、漸化式は
\[ f\left(n\right)=1+\frac{1}{2}f\left(n+1\right)+\frac{1}{2}f\left(n-1\right) \] となり、これを解くと、
\begin{align*} f\left(n\right) & =\left(c_{1}n+c_{2}\right)\left(\frac{1}{2p}\right)^{n}+n-n^{2}\\ & =\left(c_{1}n+c_{2}\right)+n-n^{2}\\ & =\left(\left(c_{1}+1\right)n+c_{2}\right)-n^{2}\\ & =\left(c_{1}n+c_{2}\right)-n^{2}\cmt{c_{1}+1\rightarrow c_{1}} \end{align*} 初期条件より、
\begin{align*} \left(\begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{c} f\left(-a\right)\\ f\left(b\right) \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} -a & 1\\ b & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{2} \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} a^{2}\\ b^{2} \end{array}\right) \end{align*} となり、\(c_{1},c_{2}\)について解くと、
\begin{align*} \left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{2} \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} -a & 1\\ b & 1 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c} a^{2}\\ b^{2} \end{array}\right)\\ & =\frac{1}{-a-b}\left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ -b & -a \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} a^{2}\\ b^{2} \end{array}\right)\\ & =\frac{-1}{a+b}\left(\begin{array}{c} a^{2}-b^{2}\\ -ba^{2}-ab^{2} \end{array}\right)\\ & =\frac{-1}{a+b}\left(\begin{array}{c} \left(a+b\right)\left(a-b\right)\\ -ab\left(a+b\right) \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c} b-a\\ ab \end{array}\right) \end{align*} 故に、
\begin{align*} f\left(n\right) & =\left(c_{1}n+c_{2}\right)-n^{2}\\ & =\left(b-a\right)n+ab-n^{2} \end{align*} 初期値\(n=0\)では、
\begin{align*} f\left(0\right) & =c_{2}\\ & =ab \end{align*}

-

これらより、
\[ \begin{cases} \frac{1}{\left(1-2p\right)\left(\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}-1\right)}\left(a\left(\frac{q}{p}\right)^{a}\left(\left(\frac{q}{p}\right)^{b}-1\right)+b\left(1-\left(\frac{q}{p}\right)^{a}\right)\right) & p\ne\frac{1}{2}\\ ab & p=\frac{1}{2} \end{cases} \] となる

補足

\(p\ne\frac{1}{2}\)のときの式、
\[ \frac{1}{\left(1-2p\right)\left(\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}-1\right)}\left(a\left(\frac{q}{p}\right)^{a}\left(\left(\frac{q}{p}\right)^{b}-1\right)+b\left(1-\left(\frac{q}{p}\right)^{a}\right)\right) \] で、\(p\rightarrow\frac{1}{2}\)の極限をとると、
\begin{align*} \lim_{p\rightarrow\frac{1}{2}}f\left(0\right) & =\lim_{p\rightarrow\frac{1}{2}}\frac{1}{\left(1-2p\right)\left(\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}-1\right)}\left(a\left(\frac{q}{p}\right)^{a}\left(\left(\frac{q}{p}\right)^{b}-1\right)+b\left(1-\left(\frac{q}{p}\right)^{a}\right)\right)\\ & =\lim_{p\rightarrow\frac{1}{2}}\frac{1}{\left(1-2p\right)\left(\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}-1\right)}\left(a\left(\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}-\left(\frac{q}{p}\right)^{a}\right)+b\left(1-\left(\frac{q}{p}\right)^{a}\right)\right)\\ & =\lim_{p\rightarrow\frac{1}{2}}\frac{1}{\left(1-2p\right)'\left(\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}-1\right)+\left(1-2p\right)\left(\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}-1\right)'}\left(a\left(\left(a+b\right)\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b-1}-a\left(\frac{q}{p}\right)^{a-1}\right)-ba\left(\frac{q}{p}\right)^{a-1}\right)\frac{d}{dp}\left(\frac{q}{p}\right)\\ & =\lim_{p\rightarrow\frac{1}{2}}\frac{1}{\left(1-2p\right)'\left(\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}-1\right)+\left(1-2p\right)\left(\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}-1\right)'}\left(\frac{q}{p}\right)^{a-1}a\left(a+b\right)\left(\left(\frac{q}{p}\right)^{b}-1\right)\frac{d}{dp}\left(\frac{q}{p}\right)\\ & =\lim_{p\rightarrow\frac{1}{2}}\frac{1}{2\left(1-2p\right)'\left(\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}-1\right)'+\left(1-2p\right)\left(\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b}-1\right)''}\left(\frac{q}{p}\right)^{a-1}ab\left(a+b\right)\left(\frac{q}{p}\right)^{b-1}\left(\frac{d}{dp}\left(\frac{q}{p}\right)\right)^{2}\\ & =\lim_{p\rightarrow\frac{1}{2}}\frac{1}{-2\cdot2\left(a+b\right)\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b-1}\frac{d}{dp}\left(\frac{q}{p}\right)}\left(\frac{q}{p}\right)^{a-1}ab\left(a+b\right)\left(\frac{q}{p}\right)^{b-1}\left(\frac{d}{dp}\left(\frac{q}{p}\right)\right)^{2}\\ & =\lim_{p\rightarrow\frac{1}{2}}\frac{1}{-2\cdot2}ab\frac{d}{dp}\left(\frac{q}{p}\right)\\ & =\lim_{p\rightarrow\frac{1}{2}}\frac{1}{-2\cdot2}ab\left(-\frac{1}{p^{2}}\right)\\ & =ab \end{align*} となり\(p=\frac{1}{2}\)のときの式になる。