項別積分と項別微分
項別積分と項別微分
総和と積分・微分の順序変更について以下が成り立つ。
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\int_{a}^{b}f_{k}\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}\left(x\right)dx \] が成り立つ。
逆は一般的に成り立たない。
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{d}{dx}f_{k}\left(x\right)=\frac{d}{dx}\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}\left(x\right)dx \] が成り立つ。
総和と積分・微分の順序変更について以下が成り立つ。
(1)項別積分
閉区間\(\left[a,b\right]\)で連続な関数列\(f_{n}\left(x\right)\)に対し、級数\(\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}\left(x\right)\)が一様収束すれば、\[ \sum_{k=1}^{\infty}\int_{a}^{b}f_{k}\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}\left(x\right)dx \] が成り立つ。
逆は一般的に成り立たない。
(2)項別微分
閉区間\([a,b]\)で\(C^{1}\)級の関数列\(f_{n}\left(x\right)\)が\(\left[a,b\right]\)上で\(f\)に各点収束し、関数列\(\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}'\left(x\right)\)が一様収束すれば、\(\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}\left(x\right)\)は\(C^{1}\)級になり、\[ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{d}{dx}f_{k}\left(x\right)=\frac{d}{dx}\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}\left(x\right)dx \] が成り立つ。
総和と積分の順序変更はいつでもできるとは限らない。
\begin{align*} g_{n}\left(x\right) & =\begin{cases} 0 & n=0\\ n\cdot1_{\left(0,\frac{1}{n}\right)}\left(x\right) & n\in\mathbb{N} \end{cases}\\ & =n\cdot1_{\left(0,\frac{1}{n}\right)}\left(x\right)\left(1-\delta_{0,n}\right) \end{align*} として、
\[ f_{n}\left(x\right)=g_{n}\left(x\right)-g_{n-1}\left(x\right) \] とおく。
このとき、積分をしてから総和をとると、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\int_{0}^{1}f_{k}\left(x\right)dx & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\int_{0}^{1}\left\{ g_{k}\left(x\right)-g_{k-1}\left(x\right)\right\} dx\\ \\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{1}\left\{ g_{n}\left(x\right)-g_{0}\left(x\right)\right\} dx\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{1}g_{n}\left(x\right)dx\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{1}n\cdot1_{\left(0,\frac{1}{n}\right)}\left(x\right)\left(1-\delta_{0,n}\right)dx\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}n\int_{0}^{1}1_{\left(0,\frac{1}{n}\right)}\left(x\right)dx\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}n\frac{1}{n}\\ & =1 \end{align*} 総和をとって積分をすると、
\begin{align*} \int_{0}^{1}\sum_{k=1}^{\infty}f_{n}\left(x\right)dx & =\int_{0}^{1}\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\left\{ g_{k}\left(x\right)-g_{k-1}\left(x\right)\right\} dx\\ & =\int_{0}^{1}\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{ g_{n}\left(x\right)-g_{0}\left(x\right)\right\} dx\\ & =\int_{0}^{1}\lim_{n\rightarrow\infty}g_{n}\left(x\right)dx\\ & =\int_{0}^{1}\lim_{n\rightarrow\infty}n\cdot1_{\left(0,\frac{1}{n}\right)}\left(x\right)\left(1-\delta_{0,n}\right)dx\\ & =\int_{0}^{1}\lim_{n\rightarrow\infty}n\cdot1_{\left(0,\frac{1}{n}\right)}\left(x\right)dx\\ & =\int_{0}^{1}0dx\\ & =0 \end{align*} となるので
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f_{n}\left(x\right)dx\ne\int_{-\infty}^{\infty}\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)dx \] となり、極限と積分の順序変更が出来ない。
\begin{align*} g_{n}\left(x\right) & =1_{\left[n,n+1\right]}\left(1-\delta_{0,n}\right) \end{align*} として、
\[ f_{n}\left(x\right)=g_{n}\left(x\right)-g_{n-1}\left(x\right) \] とおく。
このとき、積分をしてから総和をとると、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\int_{0}^{\infty}f_{k}\left(x\right)dx & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\int_{0}^{\infty}\left\{ g_{k}\left(x\right)-g_{k-1}\left(x\right)\right\} dx\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{\infty}\left\{ g_{n}\left(x\right)-g_{0}\left(x\right)\right\} dx\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-1\right)\\ & =0 \end{align*} 総和をとって積分をすると、
\begin{align*} \int_{0}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}f_{n}\left(x\right)dx & =\int_{0}^{\infty}\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\left\{ g_{k}\left(x\right)-g_{k-1}\left(x\right)\right\} dx\\ & =\int_{0}^{\infty}\lim_{n\rightarrow\infty}\left(g_{n}\left(x\right)-g_{0}\left(x\right)\right)dx\\ & =-\int_{0}^{\infty}g_{0}\left(x\right)dx\\ & =-\int_{0}^{\infty}1_{\left[0,1\right]}dx\\ & =-1 \end{align*} となるので
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{2}f_{n}\left(x\right)dx\ne\int_{0}^{2}\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)dx \] となり、総和と積分の順序変更が出来ない。
総和と積分の順序変更が出来ない例
区間\(\left[0,1\right]\)で考える。\begin{align*} g_{n}\left(x\right) & =\begin{cases} 0 & n=0\\ n\cdot1_{\left(0,\frac{1}{n}\right)}\left(x\right) & n\in\mathbb{N} \end{cases}\\ & =n\cdot1_{\left(0,\frac{1}{n}\right)}\left(x\right)\left(1-\delta_{0,n}\right) \end{align*} として、
\[ f_{n}\left(x\right)=g_{n}\left(x\right)-g_{n-1}\left(x\right) \] とおく。
このとき、積分をしてから総和をとると、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\int_{0}^{1}f_{k}\left(x\right)dx & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\int_{0}^{1}\left\{ g_{k}\left(x\right)-g_{k-1}\left(x\right)\right\} dx\\ \\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{1}\left\{ g_{n}\left(x\right)-g_{0}\left(x\right)\right\} dx\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{1}g_{n}\left(x\right)dx\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{1}n\cdot1_{\left(0,\frac{1}{n}\right)}\left(x\right)\left(1-\delta_{0,n}\right)dx\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}n\int_{0}^{1}1_{\left(0,\frac{1}{n}\right)}\left(x\right)dx\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}n\frac{1}{n}\\ & =1 \end{align*} 総和をとって積分をすると、
\begin{align*} \int_{0}^{1}\sum_{k=1}^{\infty}f_{n}\left(x\right)dx & =\int_{0}^{1}\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\left\{ g_{k}\left(x\right)-g_{k-1}\left(x\right)\right\} dx\\ & =\int_{0}^{1}\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{ g_{n}\left(x\right)-g_{0}\left(x\right)\right\} dx\\ & =\int_{0}^{1}\lim_{n\rightarrow\infty}g_{n}\left(x\right)dx\\ & =\int_{0}^{1}\lim_{n\rightarrow\infty}n\cdot1_{\left(0,\frac{1}{n}\right)}\left(x\right)\left(1-\delta_{0,n}\right)dx\\ & =\int_{0}^{1}\lim_{n\rightarrow\infty}n\cdot1_{\left(0,\frac{1}{n}\right)}\left(x\right)dx\\ & =\int_{0}^{1}0dx\\ & =0 \end{align*} となるので
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f_{n}\left(x\right)dx\ne\int_{-\infty}^{\infty}\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)dx \] となり、極限と積分の順序変更が出来ない。
総和と積分の順序変更が出来ない例-2
区間\(\left[0,\infty\right)\)で考える。\begin{align*} g_{n}\left(x\right) & =1_{\left[n,n+1\right]}\left(1-\delta_{0,n}\right) \end{align*} として、
\[ f_{n}\left(x\right)=g_{n}\left(x\right)-g_{n-1}\left(x\right) \] とおく。
このとき、積分をしてから総和をとると、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\int_{0}^{\infty}f_{k}\left(x\right)dx & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\int_{0}^{\infty}\left\{ g_{k}\left(x\right)-g_{k-1}\left(x\right)\right\} dx\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{\infty}\left\{ g_{n}\left(x\right)-g_{0}\left(x\right)\right\} dx\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-1\right)\\ & =0 \end{align*} 総和をとって積分をすると、
\begin{align*} \int_{0}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}f_{n}\left(x\right)dx & =\int_{0}^{\infty}\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\left\{ g_{k}\left(x\right)-g_{k-1}\left(x\right)\right\} dx\\ & =\int_{0}^{\infty}\lim_{n\rightarrow\infty}\left(g_{n}\left(x\right)-g_{0}\left(x\right)\right)dx\\ & =-\int_{0}^{\infty}g_{0}\left(x\right)dx\\ & =-\int_{0}^{\infty}1_{\left[0,1\right]}dx\\ & =-1 \end{align*} となるので
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{2}f_{n}\left(x\right)dx\ne\int_{0}^{2}\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)dx \] となり、総和と積分の順序変更が出来ない。
(1)
\(\Rightarrow\)
\(\sum_{k=1}^{n}f_{k}\left(x\right)\)は連続で一様収束しているので\(\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}f_{k}\left(x\right)\)は連続となる。\begin{align*} \int_{a}^{b}\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}\left(x\right)dx & =\int_{a}^{b}\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}f_{k}\left(x\right)dx\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}\sum_{k=1}^{n}f_{k}\left(x\right)dx\cmt{\because\sum_{k=1}^{n}f_{k}\left(x\right)\text{は一様収束}}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\int_{a}^{b}f_{k}\left(x\right)dx\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\int_{a}^{b}f_{k}\left(x\right)dx \end{align*} 故に\(\Rightarrow\)は成り立つ。
\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。
反例で示す。区間\(\left[0,1\right]\)で考える。
\begin{align*} g_{k}\left(x\right) & =\begin{cases} 0 & k=0\\ 1_{\left(0,\frac{1}{k}\right)} & k\in\mathbb{N} \end{cases}\\ & =\left(1-\delta_{0,k}\right)1_{\left(0,\frac{1}{k}\right)}\left(x\right) \end{align*} として\(f_{k}\left(x\right)=g_{k}\left(x\right)-g_{k-1}\left(x\right)\)とすると、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}f_{k}\left(x\right) & =\sum_{k=1}^{n}\left\{ g_{k}\left(x\right)-g_{k-1}\left(x\right)\right\} \\ & =g_{n}\left(x\right)-g_{0}\left(x\right)\\ & =g_{n}\left(x\right) \end{align*} となる。
これより、\(\sum_{k=1}^{n}f_{k}\left(x\right)\)は\(f\left(x\right)=0\)に各点収束するが、
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left[0,1\right]}\left|\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}\left(x\right)-f\left(x\right)\right| & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left[0,1\right]}\left|\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}\left(x\right)\right|\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left[0,1\right]}\left|g_{n}\left(x\right)\right|\\ & \geq\lim_{n\rightarrow\infty}g_{n}\left(\frac{1}{2n}\right)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\delta_{0,n}\right)1_{\left(0,\frac{1}{n}\right)}\left(\frac{1}{2n}\right)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}1_{\left(0,\frac{1}{n}\right)}\left(\frac{1}{2n}\right)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}1\\ & =1 \end{align*} となるので一様収束しない。
\(f_{n}\left(x\right)\)を積分をして総和をとると、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\int_{0}^{1}f_{k}\left(x\right)dx & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\int_{0}^{1}\left(g_{k}\left(x\right)-g_{k-1}\left(x\right)\right)dx\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{1}\left(g_{n}\left(x\right)-g_{0}\left(x\right)\right)dx\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{1}g_{n}\left(x\right)dx\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{1}\left(1-\delta_{0,n}\right)1_{\left(0,\frac{1}{n}\right)}\left(x\right)dx\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{1}1_{\left(0,\frac{1}{n}\right)}\left(x\right)dx\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\\ & =0 \end{align*} となり、\(f_{n}\left(x\right)\)の総和をとり積分をすると、
\begin{align*} \int_{0}^{1}\sum_{k=1}^{\infty}f_{n}\left(x\right)dx & =\int_{0}^{1}f\left(x\right)dx\\ & =0 \end{align*} となる。
従って、\(\sum_{k=1}^{\infty}f_{n}\left(x\right)\int_{0}^{1}f_{n}\left(x\right)dx=\int_{0}^{1}\sum_{k=1}^{\infty}f_{n}\left(x\right)dx\)が成り立つが\(\sum_{k=1}^{\infty}f_{n}\left(x\right)\)は一様収束しない。
故に\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。
反例2
区間\(\left[0,2\right]\)で考える。\begin{align*} g_{n}\left(x\right) & =x^{n}\left(1-\delta_{0,n}\right)H_{0}\left(1-x\right)+\left(1-\delta_{0,n}\right)H_{1}\left(x-1\right)\\ & =\left\{ x^{n}H_{0}\left(1-x\right)+H_{1}\left(x-1\right)\right\} \left(1-\delta_{0,n}\right) \end{align*} として、
\[ f_{n}\left(x\right)=g_{n}\left(x\right)-g_{n-1}\left(x\right) \] とおくと、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}f_{k}\left(x\right) & =\sum_{k=1}^{n}\left\{ g_{k}\left(x\right)-g_{k-1}\left(x\right)\right\} \\ & =g_{n}\left(x\right)-g_{0}\left(x\right)\\ & =g_{n}\left(x\right) \end{align*} となる。
これより、\(\sum_{k=1}^{n}f_{k}\left(x\right)\)は\(f\left(x\right)=H_{1}\left(x-1\right)\)に各点収束するが、
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left[0,2\right]}\left|\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}\left(x\right)-f\left(x\right)\right| & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left[0,2\right]}\left|g_{n}\left(x\right)-H_{1}\left(x-1\right)\right|\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left[0,2\right]}\left|x^{n}H_{0}\left(1-x\right)\right|\\ & \geq\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}H_{0}\left(1-\left(1-\frac{1}{n}\right)\right)\right|\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\right|\\ & =e^{-1} \end{align*} となるので一様収束しない。
このとき、積分をしてから総和をとると、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\int_{0}^{2}f_{k}\left(x\right)dx & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\int_{0}^{2}\left\{ g_{k}\left(x\right)-g_{k-1}\left(x\right)\right\} dx\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{2}\left\{ g_{n}\left(x\right)-g_{0}\left(x\right)\right\} dx\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{2}g_{n}\left(x\right)dx\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{2}\left\{ x^{n}H_{0}\left(1-x\right)+H_{1}\left(x-1\right)\right\} \left(1-\delta_{0,n}\right)dx\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{2}\left\{ x^{n}H_{0}\left(1-x\right)+H_{1}\left(x-1\right)\right\} dx\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\int_{0}^{1}x^{n}dx+\int_{1}^{2}dx\right)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\left[\frac{1}{n+1}x^{n+1}\right]_{0}^{1}+1\right)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{n+1}+1\right)\\ & =1 \end{align*} となり、総和をとってから積分をすると、
\begin{align*} \int_{0}^{2}\sum_{k=1}^{\infty}f_{n}\left(x\right)dx & =\int_{0}^{2}\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}f_{n}\left(x\right)dx\\ & =\int_{0}^{2}\lim_{n\rightarrow\infty}g_{n}\left(x\right)dx\\ & =\int_{0}^{2}\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{ x^{n}H_{0}\left(1-x\right)+H_{1}\left(x-1\right)\right\} \left(1-\delta_{0,n}\right)dx\\ & =\int_{0}^{2}\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{ x^{n}H_{0}\left(1-x\right)+H_{1}\left(x-1\right)\right\} dx\\ & =\int_{0}^{2}\left\{ H_{1}\left(x-1\right)\right\} dx\\ & =\int_{1}^{2}dx\\ & =1 \end{align*} となる。
従って、\(\sum_{k=1}^{\infty}\int_{0}^{1}f_{n}\left(x\right)dx=\int_{0}^{1}\sum_{k=1}^{\infty}f_{n}\left(x\right)dx\)が成り立つが\(\sum_{k=1}^{\infty}f_{n}\left(x\right)\)は一様収束しない。
故に\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。
(2)
\begin{align*} \frac{d}{dx}\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}\left(x\right) & =\frac{d}{dx}\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}f_{k}\left(x\right)\\ & =\frac{d}{dx}\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\int_{a}^{x}f_{k}'\left(t\right)dt\\ & =\frac{d}{dx}\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\left(f_{k}\left(x\right)-f\left(a\right)\right)\\ & =\frac{d}{dx}\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}f_{k}\left(x\right)-\sum_{k=1}^{n}f\left(a\right)\right)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{d}{dx}\sum_{k=1}^{n}f_{k}\left(x\right)\cmt{\because\frac{d}{dx}\sum_{k=1}^{n}f_{k}\left(x\right)\text{は一様収束}}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{d}{dx}f_{k}\left(x\right)\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{d}{dx}f_{k}\left(x\right) \end{align*} \(f_{n}\left(x\right)\)は\(C^{1}\)級なので\(f_{n}'\left(x\right)\)は連続となり、\(\frac{d}{dx}\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}'\left(x\right)\)も連続となる。それを積分した\(\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}\left(x\right)\)は\(C^{1}\)級となる。
ページ情報
| タイトル | 項別積分と項別微分 |
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収束列・コーシー列・完備・完備化の定義
\[
\lim_{n,m\rightarrow\infty}d\left(a_{m},a_{n}\right)=0
\]
カントールの区間縮小法
上極限・下極限は存在
絶対収束する級数は収束する
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left|\alpha_{n}\right|<\infty\Rightarrow\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{n}\text{は収束する}
\]