ガンマ関数の非正整数近傍での値
ガンマ関数の非正整数近傍での値
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
(1)
\[ \lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(-\epsilon\right)=-\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(\epsilon\right) \](2)
\[ \lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(-n+\epsilon\right)=\frac{\left(-1\right)^{n}}{n!}\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(\epsilon\right) \](3)
\[ \lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{\Gamma\left(-n+\epsilon\right)}{\Gamma\left(-n-\epsilon\right)}=-1 \]両側極限は存在しないので片側極限にしている。
(1)
\begin{align*} \lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(-\epsilon\right) & =\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\frac{\pi}{\Gamma\left(1+\epsilon\right)\sin\left(-\pi\epsilon\right)}\\ & =-\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\frac{\pi}{\Gamma\left(1+\epsilon\right)\sin\left(\pi\epsilon\right)}\\ & =-\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\frac{\Gamma\left(\epsilon\right)\Gamma\left(1-\epsilon\right)}{\Gamma\left(1+\epsilon\right)}\\ & =-\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(\epsilon\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(-n+\epsilon\right) & =\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\frac{\Gamma\left(-n+1+\epsilon\right)}{\left(-n+\epsilon\right)}\\ & =-\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\frac{\Gamma\left(-n+1+\epsilon\right)}{n}\\ & =\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(\epsilon\right)\prod_{k=1}^{n}\frac{\Gamma\left(-k+\epsilon\right)}{\Gamma\left(-k+1+\epsilon\right)}\\ & =\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(\epsilon\right)\prod_{k=1}^{n}\frac{-1}{k}\\ & =\frac{\left(-1\right)^{n}}{n!}\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(\epsilon\right) \end{align*}(2)-2
\begin{align*} \lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(-n+\epsilon\right) & =\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\frac{\pi}{\Gamma\left(1+n-\epsilon\right)\sin\left(\pi\left(-n+\epsilon\right)\right)}\\ & =\frac{\pi}{\Gamma\left(1+n\right)}\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\frac{\Gamma\left(1+\epsilon\right)}{\sin\left(\pi\left(-n+\epsilon\right)\right)}\\ & =\frac{\pi}{\Gamma\left(1+n\right)}\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\frac{\epsilon\Gamma\left(\epsilon\right)}{\sin\left(\pi\left(-n+\epsilon\right)\right)}\\ & =\frac{\pi}{\Gamma\left(1+n\right)}\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\frac{\Gamma\left(\epsilon\right)}{\pi\cos\left(\pi\left(-n+\epsilon\right)\right)}\\ & =\frac{1}{\Gamma\left(1+n\right)\cos\left(-\pi n\right)}\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(\epsilon\right)\\ & =\frac{\left(-1\right)^{n}}{n!}\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(\epsilon\right) \end{align*}(3)
\begin{align*} \lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\frac{\Gamma\left(-n+\epsilon\right)}{\Gamma\left(-n-\epsilon\right)} & =\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\frac{\left(-1\right)^{n}\Gamma\left(\epsilon\right)n!}{n!\left(-1\right)^{n}\Gamma\left(-\epsilon\right)}\\ & =\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\frac{\Gamma\left(\epsilon\right)}{\Gamma\left(-\epsilon\right)}\\ & =-1 \end{align*} これより、両側極限が存在するので、与式は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | ガンマ関数の非正整数近傍での値 |
| URL | https://www.nomuramath.com/yb4cqnhj/ |
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第1種・第2種不完全ガンマ関数の漸化式
\[
\Gamma\left(a+1,x\right)=a\Gamma\left(a,x\right)+x^{a}e^{-x}
\]
偶数と奇数の2重階乗
\[
\left(2n+1\right)!!=2^{n+1}\frac{\left(n+\frac{1}{2}\right)!}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}
\]
ディガンマ関数・ポリガンマ関数の漸化式・正整数値・半正整数値
\[
\psi(z+1)=\psi(z)+\frac{1}{z}
\]
ポリガンマ関数同士の差の極限
\[
\lim_{z\rightarrow0}\left(\psi^{\left(n\right)}\left(z-m\right)-\psi^{\left(n\right)}\left(z\right)\right)=n!H_{m,n+1}
\]