集合が同じで位相が異なる空間
集合が同じで位相が異なる空間
同じ集合で位相が異なる位相空間\(\left(X,\mathcal{O}_{1}\right),\left(X,\mathcal{O}_{2}\right)\)がある。
同じ集合で位相が異なる位相空間\(\left(X,\mathcal{O}_{1}\right),\left(X,\mathcal{O}_{2}\right)\)がある。
(1)
\(\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\)は位相、すなわち\(\left(X,\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\right)\)は位相空間となる。(2)
\(\mathcal{O}_{1}\cup\mathcal{O}_{2}\)は一般的に位相とならない。(1)
\(\mathcal{O}_{1}\)にも\(\mathcal{O}_{2}\)にも空集合\(\emptyset\)と全体集合\(X\)が含まれているので、\(\emptyset,X\in\)\(\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\)となる。\(O_{1},O_{2}\in\)\(\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\)とすると、\(O_{1},O_{2}\in\)\(\mathcal{O}_{1}\)なので\(O_{1}\cap O_{2}\in\)\(\mathcal{O}_{1}\)となり、同様に\(O_{1}\cap O_{2}\in\)\(\mathcal{O}_{2}\)となるので\(O_{1}\cap O_{2}\in\)\(\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\)となる。
\(\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\)とすると、\(\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{1}\)なので\(\bigcup\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{1}\)となり、同様に\(\bigcup\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{2}\)となり、\(\bigcup\mathcal{O}\in\)\(\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\)となる。
これらより、位相であるための条件を満たしているので\(\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\)は位相となる。
(2)
反例で示す。2つの位相空間を\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right),\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)とすると、\(\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \cup\left\{ \emptyset,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} =\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \)となるが、\(\left\{ a,b\right\} \cap\left\{ b,c\right\} =\left\{ b\right\} \)が位相に入っていない。
故に\(\mathcal{O}_{1}\cup\mathcal{O}_{2}\)は一般的に位相とならない。
ページ情報
| タイトル | 集合が同じで位相が異なる空間 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ybq15255/ |
| SNSボタン |
ハイバー演算子の基本的な値
\[
H_{n}\left(0,a\right)=\begin{cases}
a+1 & n=0\\
a & n=1\\
0 & n=2\\
\delta_{0a} & n=3\\
\delta_{0,\mod\left(a,2\right)} & n=4,5,\cdots
\end{cases}
\]
冪乗の性質
\[
\pv\alpha^{\beta}\pv\alpha^{\gamma}=\pv\alpha^{\beta+\gamma}
\]
中心極限定理
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\sigma}\left(\sum_{i=1}^{n}X_{i}-n\mu\right)=N(0,1)
\]
三角関数を正接の半角、双曲線関数を双曲線正接の半角で表す。
\[
\sin z=\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}}
\]