2項係数の逆数の差分
2項係数の逆数の差分
(1)
\[ C^{-1}(k+j+1,j+1)=\frac{j+1}{j}\left(C^{-1}(k+j,j)-C^{-1}(k+j+1,j)\right) \](2)
\[ \sum_{k=0}^{n}C^{-1}(k+j+1,j+1)=\frac{j+1}{j}\left(1-\frac{j!(n+1)!}{(n+j+1)!}\right) \](1)
\begin{align*} C^{-1}(k+j+1,j+1) & =\frac{j+1}{j}\left(\frac{k+j+1}{j+1}-\frac{k+1}{j+1}\right)\frac{(j+1)!k!}{(k+j+1)!}\\ & =\frac{j+1}{j}\left(\frac{j!k!}{(k+j)!}-\frac{j!(k+1)!}{(k+k+1)!}\right)\\ & =\frac{j+1}{j}\left(C^{-1}(k+j,j)-C^{-1}(k+j+1,j)\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \sum_{k=0}^{n}C^{-1}(k+j+1,j+1) & =\frac{j+1}{j}\sum_{k=0}^{n}\left(C^{-1}(k+j,j)-C^{-1}(k+j+1,j)\right)\\ & =\frac{j+1}{j}\left(C^{-1}(j,j)-C^{-1}(n+j+1,j)\right)\\ & =\frac{j+1}{j}\left(1-\frac{j!(n+1)!}{(n+j+1)!}\right) \end{align*}ページ情報
タイトル | 2項係数の逆数の差分 |
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中央2項係数を含む通常型母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}C\left(2k,k\right)z^{k}=\frac{1}{2z}\left\{ 1-\left(1-4z\right)^{\frac{1}{2}}\right\}
\]
2項係数の微分
\[
\frac{d}{dx}C(x,y) =C(x,y)\left(\psi(1+x)-\psi(1+x-y)\right)
\]
ファンデルモンドの畳み込み定理と第1引数の畳み込み
\[
\sum_{j=0}^{k}C(x,j)C(y,k-j)=C(x+y,k)
\]
パスカルの法則
\[
C(x+1,y+1)=C(x,y+1)+C(x,y)
\]