2重根号の逆数の総和
2重根号の逆数の総和
\(n\in\mathbb{N}\)とする。
以下が成り立つ。
\[ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k+\sqrt{k^{2}-1}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}-1\right) \]
\(n\in\mathbb{N}\)とする。
以下が成り立つ。
\[ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k+\sqrt{k^{2}-1}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}-1\right) \]
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k+\sqrt{k^{2}-1}}} & =\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{\frac{k+1}{2}}+\sqrt{\frac{k-1}{2}}}\\
& =\sqrt{2}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k-1}}\\
& =\frac{\sqrt{2}}{2}\sum_{k=1}^{n}\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k-1}\right)\\
& =\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sum_{k=2}^{n+1}\sqrt{k}-\sum_{k=0}^{n-1}\sqrt{k}\right)\\
& =\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}-1\right)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 2重根号の逆数の総和 |
| URL | https://www.nomuramath.com/yeht2xfq/ |
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1次式の逆n乗和
\[
\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{\left(\alpha k+\beta\right)^{n}}=\frac{\left(-1\right)^{n-1}}{\alpha^{n}\left(n-1\right)!}\left\{ \psi^{\left(n-1\right)}\left(m+1+\frac{\beta}{\alpha}\right)-\psi^{\left(n-1\right)}\left(1+\frac{\beta}{\alpha}\right)\right\}
\]
2重和の変換
\[
\sum_{m=a}^{\infty}\sum_{n=b}^{\infty}f(m,n)=\sum_{t=a+b}^{\infty}\sum_{s=a}^{t-b}f(s,t-s)
\]
整数と半整数の逆数和
\[
\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}=e\frac{\Gamma(n+1,1)}{\Gamma\left(n+1\right)}
\]