合成関数の微分
合成関数の微分
(1)合成関数の微分
\[ \frac{df(g(x))}{dx}=f'(g(x))g'(x) \](2)2つの合成関数
\[ \frac{df\left(g(x),h(x)\right)}{dx}=\frac{\partial f\left(g(x),h(x)\right)}{\partial g(x)}g'(x)+\frac{\partial f\left(g(x),h(x)\right)}{\partial h(x)}h'(x) \](1)
\begin{align*} \frac{df\left(g(x)\right)}{dx} & =\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f\left(g(x+\Delta x)\right)-f\left(g(x)\right)}{\Delta x}\\ & =\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f\left(g(x+\Delta x)\right)-f\left(g(x)\right)}{g(x+\Delta x)-g(x)}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\\ & =\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f\left(g(x)+\Delta g(x)\right)-f\left(g(x)\right)}{\Delta g(x)}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\cmt{\Delta g(x)=g(x+\Delta x)-g(x)}\\ & =f'(g(x))g'(x) \end{align*}(2)
\begin{align*} \frac{df\left(g(x),h(x)\right)}{dx} & =\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f\left(g(x+\Delta x),h(x+\Delta x)\right)-f\left(g(x),h(x)\right)}{\Delta x}\\ & =\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f\left(g(x+\Delta x),h(x+\Delta x)\right)-f\left(g(x),h(x+\Delta x)\right)+f\left(g(x),h(x+\Delta x)\right)-f\left(g(x),h(x)\right)}{\Delta x}\\ & =\lim_{\Delta x\rightarrow0}\left(\frac{f\left(g(x+\Delta x),h(x+\Delta x)\right)-f\left(g(x),h(x+\Delta x)\right)}{g(x+\Delta x)-g(x)}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}+\frac{f\left(g(x),h(x+\Delta x)\right)-f\left(g(x),h(x)\right)}{h(x+\Delta x)-h(x)}\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}\right)\\ & =\lim_{\Delta x\rightarrow0}\left(\frac{f\left(g(x)+\Delta g,h(x+\Delta x)\right)-f\left(g(x),h(x+\Delta x)\right)}{\Delta g}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}+\frac{f\left(g(x),h(x)+\Delta h\right)-f\left(g(x),h(x)\right)}{\Delta h}\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}\right)\\ & =\frac{\partial f\left(g(x),h(x)\right)}{\partial g(x)}g'(x)+\frac{\partial f\left(g(x),h(x)\right)}{\partial h(x)}h'(x) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 合成関数の微分 |
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逆関数の微分
\[
\frac{df^{\bullet}(x)}{dx}=\left(\frac{df(f^{\bullet}(x))}{df^{\bullet}(x)}\right)^{-1}
\]
ルートの中に2乗を含む積分
\[
\int f\left(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\right)dx=a\int f\left(a\cos t\right)\cos tdt\cnd{x=a\sin t}
\]
3角関数の関数の定積分
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\cos x\right)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\sin x\right)dx
\]
部分積分と繰り返し部分積分
\[
\int f(x)g(x)dx=\sum_{k=0}^{n-1}\left(-1\right)^{k}f^{(-(k+1))}(x)g^{(k)}(x)+(-1)^{n}\int f^{(-n)}(x)g^{(n)}(x)dx
\]