相反方程式の定義と解法
相反方程式
係数が左右非対称な代数方程式を相反方程式という。
すなわち
\[ \sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}=0 \] で\(a_{k}=a_{n-k}\)となる方程式である。
係数が左右非対称な代数方程式を相反方程式という。
すなわち
\[ \sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}=0 \] で\(a_{k}=a_{n-k}\)となる方程式である。
相反方程式の解法
相反方程式
\[ \sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}=0 \] は、\(a_{n}\ne0\)のとき以下が成り立つ。
\(m\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\(x\)について\(2m\)次相反方程式は\(t=x+\frac{1}{x}\)とおくと\(t\)の\(m\)次方程式に帰着できる。
\(x\)について\(2m+1\)次相反方程式は\(\left(x+1\right)\)を因数に持ち、残りの因数は相反方程式になるので\(t=x+\frac{1}{x}\)とおくと\(t\)の\(m\)次方程式に帰着できる。
相反方程式
\[ \sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}=0 \] は、\(a_{n}\ne0\)のとき以下が成り立つ。
\(m\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\(x\)について\(2m\)次相反方程式は\(t=x+\frac{1}{x}\)とおくと\(t\)の\(m\)次方程式に帰着できる。
\(x\)について\(2m+1\)次相反方程式は\(\left(x+1\right)\)を因数に持ち、残りの因数は相反方程式になるので\(t=x+\frac{1}{x}\)とおくと\(t\)の\(m\)次方程式に帰着できる。
偶数次のとき
\begin{align*} \sum_{k=0}^{2m}a_{k}x^{k} & =\sum_{k=0}^{m-1}a_{k}x^{k}+a_{m}x^{m}+\sum_{k=m+1}^{2m}a_{k}x^{k}\\ & =\sum_{k=0}^{m-1}a_{k}x^{k}+a_{m}x^{m}+\sum_{k=0}^{m-1}a_{2m-k}x^{2m-k}\\ & =\sum_{k=0}^{m-1}a_{k}x^{k}+a_{m}x^{m}+\sum_{k=0}^{m-1}a_{k}x^{2m-k}\\ & =x^{m}\left(\sum_{k=0}^{m-1}a_{k}\left(x^{k-m}+x^{m-k}\right)+a_{m}\right) \end{align*} \(x^{k-m}+x^{m-k}\)は\(x+x^{-1}\)の\(n\)次式で表されるので、\(t\)の\(n\)次式で表される。また、\(x\ne0\)なので\(x^{m}\)で割れる。
これより、題意は成り立つ。
奇数次のとき、
\begin{align*} \sum_{k=0}^{2m+1}a_{k}x^{k} & =\sum_{k=0}^{m}a_{k}x^{k}+\sum_{k=m+1}^{2m+1}a_{k}x^{k}\\ & =\sum_{k=0}^{m}a_{k}x^{k}+\sum_{k=0}^{m}a_{2m+1-k}x^{2m+1-k}\\ & =\sum_{k=0}^{m}a_{k}x^{k}+\sum_{k=0}^{m}a_{k}x^{2m+1-k}\\ & =\sum_{k=0}^{m}a_{k}\left(x^{k}+x^{2m+1-k}\right)\\ & =\sum_{k=0}^{m}a_{k}x^{k}\left(1+x^{2\left(m-k\right)+1}\right)\\ & =\left(1+x\right)\sum_{k=0}^{m}a_{k}x^{k}\left(\sum_{j=0}^{2\left(m-k\right)}\left(-1\right)^{j}x^{j}\right)\\ & =\left(1+x\right)\sum_{k=0}^{m}a_{m-k}x^{m-k}\left(\sum_{j=0}^{2k}\left(-1\right)^{j}x^{j}\right)\\ & =\left(1+x\right)\sum_{k=0}^{m}a_{m-k}x^{m-k}\left(\sum_{j=0}^{k-1}\left(-1\right)^{j}x^{j}+\left(-1\right)^{k}x^{k}+\sum_{j=k+1}^{2k}\left(-1\right)^{j}x^{j}\right)\\ & =\left(1+x\right)\sum_{k=0}^{m}a_{m-k}x^{m-k}\left(\sum_{j=0}^{k-1}\left(-1\right)^{j}x^{j}+\left(-1\right)^{k}x^{k}+\sum_{j=0}^{k-1}\left(-1\right)^{2k-j}x^{2k-j}\right)\\ & =\left(1+x\right)\sum_{k=0}^{m}a_{m-k}x^{m-k}\left(\sum_{j=0}^{k-1}\left(-1\right)^{j}x^{j}+\left(-1\right)^{k}x^{k}+\sum_{j=0}^{k-1}\left(-1\right)^{j}x^{2k-j}\right)\\ & =\left(1+x\right)\sum_{k=0}^{m}a_{m-k}\left(\sum_{j=0}^{k-1}\left(-1\right)^{j}\left(x^{m+\left(j-k\right)}+x^{m-\left(j-k\right)}\right)+\left(-1\right)^{k}x^{m}\right) \end{align*} となるので、\(\left(1+x\right)\)を因数に持ち、残りの因数は\(x^{m+\left(j-k\right)}+x^{m-\left(j-k\right)}\)の和で表せるので相反方程式になる。これより、\(\left(1+x\right)\)で割り、\(t=x+\frac{1}{x}\)とおくと\(t\)の\(m\)次方程式に帰着できる。
ページ情報
| タイトル | 相反方程式の定義と解法 |
| URL | https://www.nomuramath.com/yp2kxkjm/ |
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n乗根の因数分解
\[
z^{n}-1=\prod_{k=1}^{n}\left(z-e^{\frac{2\pi}{n}ki}\right)
\]
3次方程式の標準形
\[
X^{3}+pX+q=0
\]
オイラーの4平方恒等式
\[
\left(a_{0}^{\;2}+a_{1}^{\;2}+a_{2}^{\;2}+a_{3}^{\;2}\right)\left(b_{0}^{\;2}+b_{1}^{\;2}+b_{2}^{\;2}+b_{3}^{\;2}\right)=\left(a_{0}b_{0}-a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}\right)^{2}+\left(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\right)^{2}+\left(a_{0}b_{2}-a_{1}b_{3}+a_{2}b_{0}+a_{3}b_{1}\right)^{2}+\left(a_{0}b_{3}+a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}+a_{3}b_{0}\right)^{2}
\]
ブラーマグプタ2平方恒等式
\[
\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=\left(ac\pm bd\right)^{2}+\left(ad\mp bc\right)^{2}
\]