未知数がルートの中にある方程式

与式を移項して、
\begin{align*} \sqrt{z} & =2-i\sqrt{z} \end{align*} 両辺を2乗すると、
\[ x=4-z-4i\sqrt{z} \] 移項して
\[ 2z-4=-4i\sqrt{z} \] 両辺を2乗すると、
\[ 4z^{2}-16z+16=-16z \] 移項すると、
\begin{align*} 0 & =4z^{2}+16\\ & =4\left(z^{2}+4\right)\\ & =4\left(z-2i\right)\left(z+2i\right) \end{align*} となるので\(z=\pm2i\)となる。
\(z=\pm2i\)を元の式に代入すると、
\begin{align*} \sqrt{\pm2i}+\sqrt{\mp2i} & =\sqrt{2}\left(\sqrt{\pm i}+\sqrt{\mp i}\right)\\ & =\sqrt{2}\left(\sqrt{e^{\pm\frac{\pi}{2}i}}+\sqrt{e^{\mp\frac{\pi}{2}i}}\right)\\ & =\sqrt{2}\left(e^{\pm\frac{\pi}{4}i}+e^{\mp\frac{\pi}{4}i}\right)\\ & =2\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4}\\ & =2\sqrt{2}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ & =2 \end{align*} となり成り立っているので解は\(z=\pm2i\)となる。