ハイパー演算子の結合法則
ハイパー演算子の結合法則
\[ a^{\left(n\right)}\left(b^{\left(n\right)}c\right)=\left(a^{\left(n\right)}b\right)^{\left(n\right)}c \]
\[ a^{\left(n\right)}\left(b^{\left(n\right)}c\right)\ne\left(a^{\left(n\right)}b\right)^{\left(n\right)}c \]
(1)
\(n=1,2\)のとき、\[ a^{\left(n\right)}\left(b^{\left(n\right)}c\right)=\left(a^{\left(n\right)}b\right)^{\left(n\right)}c \]
(2)
\(n=0\)または\(n=3,4,\cdots\)のとき、\[ a^{\left(n\right)}\left(b^{\left(n\right)}c\right)\ne\left(a^{\left(n\right)}b\right)^{\left(n\right)}c \]
-
\(a^{\left(n\right)}b\)はハイパー演算子(1)
\begin{align*} a^{\left(1\right)}\left(b^{\left(1\right)}c\right) & =a+b+c\\ & =\left(a^{\left(1\right)}b\right)^{\left(1\right)}c \end{align*} \begin{align*} a^{\left(2\right)}\left(b^{\left(2\right)}c\right) & =abc\\ & =\left(a^{\left(2\right)}b\right)^{\left(2\right)}c \end{align*}(2)
\(n=0\)のとき、
\begin{align*} a^{\left(0\right)}\left(b^{\left(0\right)}c\right) & =a^{\left(0\right)}\left(c+1\right)\\ & =c+2 \end{align*} \begin{align*} \left(a^{\left(0\right)}b\right)^{\left(0\right)}c & =c+1 \end{align*} となるので、\[ a^{\left(0\right)}\left(b^{\left(0\right)}c\right)\ne\left(a^{\left(0\right)}b\right)^{\left(0\right)}c \]
\(n=2,3,\cdots\)のとき、
\(c=0\)とする。\begin{align*} a^{\left(n\right)}\left(b^{\left(n\right)}0\right) & =a^{\left(n\right)}1\\ & =a \end{align*} \[ \left(a^{\left(n\right)}b\right)^{\left(n\right)}0=1 \] となり、
\[ a^{\left(n\right)}\left(b^{\left(n\right)}0\right)\ne\left(a^{\left(n\right)}b\right)^{\left(n\right)}0 \] となるので、一般に
\[ a^{\left(n\right)}\left(b^{\left(n\right)}c\right)\ne\left(a^{\left(n\right)}b\right)^{\left(n\right)}c \] となる。
ページ情報
| タイトル | ハイパー演算子の結合法則 |
| URL | https://www.nomuramath.com/yv2kkqea/ |
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テトレーションの微分
\[
\frac{d}{dz}\left(z\uparrow^{2}n\right)=\frac{1}{z}\sum_{k=1}^{n}\left(\log^{k-1}z\right)\prod_{j=n-k}^{n}\left(z\uparrow^{2}j\right)
\]
コンウェイのチェーン表記の優先順位
\begin{align*}
& a\rightarrow\left(b\rightarrow c\right)\\
& a\rightarrow b\rightarrow c\\
& \left(a\rightarrow b\right)\rightarrow c
\end{align*}
ハイバー演算子の定義
\[
H_{n}\left(a,b\right):=\begin{cases}
b+1 & n=0\\
a+b & n=1\\
\underbrace{a^{\left(n-1\right)}a^{\left(n-1\right)}\cdots a^{\left(n-1\right)}a}_{b\;copies\;of\;a} & n=2,3,\cdots
\end{cases}
\]
アッカーマン関数の定義と解
\[
A\left(m,n\right)=2\uparrow^{m-2}\left(n+3\right)-3
\]