完全剰余系の基本定理
完全剰余系の基本定理
\(a,n\in\mathbb{Z}\)が互いに素であるとき、\(1a,2a,3a,\cdots\cdots,na\)をnで割った余りは全て異なる。
\(a,n\in\mathbb{Z}\)が互いに素であるとき、\(1a,2a,3a,\cdots\cdots,na\)をnで割った余りは全て異なる。
\(1a,2a,3a,\cdots\cdots,na\)から任意の2数\(ia,ja(1\leq i<j\leq n)\)を選ぶ。
このとき\(ia,ja\)を\(n\)で割った値が等しいと仮定する。
\(ja-ia=(j-i)a\)は\(n\)で割りきれるはずだが、\(1\leq j-i\leq n\)であり、\(j-i\)と\(a\)は互いに素なので\((j-i)a\)は\(n\)で割りきれない。
故に矛盾となり、nで割った余りは全て異なる。
このとき\(ia,ja\)を\(n\)で割った値が等しいと仮定する。
\(ja-ia=(j-i)a\)は\(n\)で割りきれるはずだが、\(1\leq j-i\leq n\)であり、\(j-i\)と\(a\)は互いに素なので\((j-i)a\)は\(n\)で割りきれない。
故に矛盾となり、nで割った余りは全て異なる。
ページ情報
| タイトル | 完全剰余系の基本定理 |
| URL | https://www.nomuramath.com/z62udfm7/ |
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平方剰余の定義
\[
QR(a,p)
\]
2元1次不定方程式の整数解とユークリッドの互除法
\[
ax+by=c
\]
オイラーの規準
\[
QR(a,p)\overset{p}{\equiv}a^{\frac{p-1}{2}}
\]
整数論の基本定理
\[
ax+by=1\text{が整数解を持つ}\Leftrightarrow a\text{と}b\text{は互いに素}
\]