オイラー多項式の微分表示
オイラー多項式の微分表示
オイラー多項式\(E_{n}\left(x\right)\)は次の微分表示でも表される。
\[ E_{n}\left(x\right)=\frac{2}{e^{D}+1}x_{n} \]
オイラー多項式\(E_{n}\left(x\right)\)は次の微分表示でも表される。
\[ E_{n}\left(x\right)=\frac{2}{e^{D}+1}x_{n} \]
\begin{align*}
\left(e^{D}+1\right)E_{n}\left(x\right) & =\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{D^{k}}{k!}+1\right)E_{n}\left(x\right)\\
& =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{P\left(n,k\right)E_{n-k}\left(x\right)}{k!}+E_{n}\left(x\right)\cmt{\because E_{n}^{\left(k\right)}\left(x\right)=P\left(n,k\right)E_{n-k}\left(x\right)}\\
& =\sum_{k=0}^{\infty}C\left(n,k\right)E_{n-k}\left(x\right)+E_{n}\left(x\right)\\
& =E_{n}\left(x+1\right)+E_{n}\left(x\right)\\
& =\left(-1\right)^{n}E_{n}\left(-x\right)+E_{n}\left(x\right)\\
& =-E_{n}\left(x\right)+2x^{n}+E_{n}\left(x\right)\\
& =2x^{n}
\end{align*}
これより、
\[ E_{n}\left(x\right)=\frac{2}{e^{D}+1}x_{n} \] となるので与式が成り立つ。
\[ E_{n}\left(x\right)=\frac{2}{e^{D}+1}x_{n} \] となるので与式が成り立つ。
ページ情報
| タイトル | オイラー多項式の微分表示 |
| URL | https://www.nomuramath.com/zhlczq9y/ |
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(*)オイラー多項式とベルヌーイ数・ベルヌーイ多項式との関係
\[
E_{n-1}\left(x\right)=\frac{2}{n}\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)\left(1-2^{k}\right)B_{k}x^{n-k}
\]
(*)オイラー多項式の総和
\[
E_{n}\left(x+y\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)E_{k}\left(x\right)y^{n-k}
\]
オイラー多項式の指数型母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{E_{k}\left(x\right)}{k!}t^{k}=\frac{2e^{xt}}{e^{t}+1}
\]
オイラー多項式の定義
\[
E_{n}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)\frac{E_{k}}{2^{k}}\left(x-\frac{1}{2}\right)^{n-k}
\]