カッシーニ・シムソンの定理
カッシーニ・シムソンの定理
フィボナッチ数列について次の式が成り立つ。
\[ F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=\left(-1\right)^{n} \]
フィボナッチ数列について次の式が成り立つ。
\[ F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=\left(-1\right)^{n} \]
-
\(F_{n}\)はフィボナッチ数列\begin{align*}
F_{3-1}F_{3+1}-F_{3}^{2} & =F_{2}F_{4}-F_{3}^{2}\\
& =1\cdot3-2^{2}\\
& =3-4\\
& =-1\\
& =\left(-1\right)^{3}
\end{align*}
フィボナッチ数列の行列表示
\[ \left(\begin{array}{cc} F_{n+1} & F_{n}\\ F_{n} & F_{n-1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{array}\right)^{n} \] より、
\begin{align*} F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2} & =\det\left(\begin{array}{cc} F_{n+1} & F_{n}\\ F_{n} & F_{n-1} \end{array}\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{array}\right)^{n}\\ & =\left(\det\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{array}\right)\right)^{n}\\ & =\left(-1\right)^{n} \end{align*} となるので与式は成り立つ。
\[ \left(\begin{array}{cc} F_{n+1} & F_{n}\\ F_{n} & F_{n-1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{array}\right)^{n} \] より、
\begin{align*} F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2} & =\det\left(\begin{array}{cc} F_{n+1} & F_{n}\\ F_{n} & F_{n-1} \end{array}\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{array}\right)^{n}\\ & =\left(\det\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{array}\right)\right)^{n}\\ & =\left(-1\right)^{n} \end{align*} となるので与式は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | カッシーニ・シムソンの定理 |
| URL | https://www.nomuramath.com/zmaki7zy/ |
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フィボナッチ数列の組み合せ論的解釈
$n$段の階段を1段または2段ずつ登るときの登り方は$F_{n+1}$通り。
フィボナッチ数列の商の極限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{F_{n+1}}{F_{n}}=\phi
\]
フィボナッチ数列の総和
\[
\sum_{k=0}^{n}F_{k}=F_{n+2}-1
\]
フィボナッチ数列同士の最大公約数
\[
\gcd\left(F_{m},F_{n}\right)=F_{\gcd\left(m,n\right)}
\]