単射により誘導された距離空間

by nomura · 2023年5月8日

単射により誘導された距離空間
距離空間\(\left(X,d\right)\)があり、集合\(A\)と単射\(f:A\rightarrow X\)があるとき、\(a,b\in A\)として距離\(d:A\times A\rightarrow\mathbb{R}\)を
\[ d_{f}\left(a,b\right)=d\left(f\left(a\right),f\left(b\right)\right) \] と定めると、\(\left(A,d_{f}\right)\)も距離空間となる。このとき、\(f\)により誘導された距離空間という。

\(f\)が単射でないときは、ある\(a_{1},a_{2}\in A\)が存在して\(f\left(a_{1}\right)=f\left(a_{2}\right)\land a_{1}\ne a_{2}\)となるので、このとき\(d_{f}\left(a_{1},a_{2}\right)=d\left(f\left(a_{1}\right),f\left(a_{2}\right)\right)=d\left(f\left(a_{1}\right),f\left(a_{1}\right)\right)=0\)となり\(a_{1}\ne a_{2}\)で\(d_{f}\left(a_{1},a_{2}\right)=0\)を満たし非退化性を満たさないので距離空間にならない。

非退化性

\(a=b\)のとき、\(d_{f}\left(a,b\right)=d\left(f\left(a\right),f\left(a\right)\right)=0\)となるので\(a=b\Rightarrow d_{f}\left(a,b\right)=0\)
\(d_{f}\left(a,b\right)=0\)のとき、\(d\left(f\left(a\right),f\left(b\right)\right)=0\)となるが\(d\)は距離空間なので\(f\left(a\right)=f\left(b\right)\)のとき成り立つ。
\(f\)は単射なのでこれが成り立つには\(a=b\)となるので、\(d_{f}\left(a,b\right)=0\Rightarrow a=b\)となる。
故に\(a=b\Leftrightarrow d_{f}\left(a,b\right)=0\)となり非退化性は満たされる。

対称性

\begin{align*} d_{f}\left(a,b\right) & =d\left(f\left(a\right),f\left(b\right)\right)\\ & =d\left(f\left(b\right),f\left(a\right)\right)\\ & =d_{f}\left(b,a\right) \end{align*} となるので、対称性は満たされる。

3角不等式

\begin{align*} d_{f}\left(a,c\right) & =d\left(f\left(a\right),f\left(c\right)\right)\\ & \leq d\left(f\left(a\right),f\left(b\right)\right)+d\left(f\left(b\right),f\left(c\right)\right)\\ & =d_{f}\left(a,b\right)+d_{f}\left(b,c\right) \end{align*} となるので3角不等式を満たす。