単射により誘導された距離空間

by nomura · 2023年5月8日

単射により誘導された距離空間
距離空間$\left(X,d\right)$があり、集合$A$と単射$f:A\rightarrow X$があるとき、$a,b\in A$として距離$d:A\times A\rightarrow\mathbb{R}$を
\[ d_{f}\left(a,b\right)=d\left(f\left(a\right),f\left(b\right)\right) \] と定めると、$\left(A,d_{f}\right)$も距離空間となる。このとき、$f$により誘導された距離空間という。

$f$が単射でないときは、ある$a_{1},a_{2}\in A$が存在して$f\left(a_{1}\right)=f\left(a_{2}\right)\land a_{1}\ne a_{2}$となるので、このとき$d_{f}\left(a_{1},a_{2}\right)=d\left(f\left(a_{1}\right),f\left(a_{2}\right)\right)=d\left(f\left(a_{1}\right),f\left(a_{1}\right)\right)=0$となり$a_{1}\ne a_{2}$で$d_{f}\left(a_{1},a_{2}\right)=0$を満たし非退化性を満たさないので距離空間にならない。

非退化性

$a=b$のとき、$d_{f}\left(a,b\right)=d\left(f\left(a\right),f\left(a\right)\right)=0$となるので$a=b\Rightarrow d_{f}\left(a,b\right)=0$
$d_{f}\left(a,b\right)=0$のとき、$d\left(f\left(a\right),f\left(b\right)\right)=0$となるが$d$は距離空間なので$f\left(a\right)=f\left(b\right)$のとき成り立つ。
$f$は単射なのでこれが成り立つには$a=b$となるので、$d_{f}\left(a,b\right)=0\Rightarrow a=b$となる。
故に$a=b\Leftrightarrow d_{f}\left(a,b\right)=0$となり非退化性は満たされる。

対称性

\begin{align*} d_{f}\left(a,b\right) & =d\left(f\left(a\right),f\left(b\right)\right)\\ & =d\left(f\left(b\right),f\left(a\right)\right)\\ & =d_{f}\left(b,a\right) \end{align*} となるので、対称性は満たされる。

3角不等式

\begin{align*} d_{f}\left(a,c\right) & =d\left(f\left(a\right),f\left(c\right)\right)\\ & \leq d\left(f\left(a\right),f\left(b\right)\right)+d\left(f\left(b\right),f\left(c\right)\right)\\ & =d_{f}\left(a,b\right)+d_{f}\left(b,c\right) \end{align*} となるので3角不等式を満たす。

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これより、$\left(A,d_{f}\right)$は非退化性・対称性・3角不等式を満たすので距離空間になる。

ページ情報

タイトル	単射により誘導された距離空間
URL	https://www.nomuramath.com/zmy7hous/
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\[ A\cap B\ne\emptyset\Rightarrow d\left(A,B\right)=0 \]

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