ウォリス積分を含む極限
ウォリス積分を含む極限値
(1)
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta=\sqrt{\frac{\pi}{2}} \](2)
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}\theta d\theta=\sqrt{\frac{\pi}{2}} \](1)
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta & =\frac{1}{2}\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}B\left(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2}\right)\\ & =\frac{1}{2}\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}\\ & =\frac{\sqrt{\pi}}{2}\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{\sqrt{n}\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}\sqrt{n+1}\frac{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+3}{2}\right)}}\\ & =\frac{\sqrt{\pi}}{2}\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{\sqrt{n}\sqrt{n+1}\frac{2}{n+1}}\\ & =\sqrt{\frac{\pi}{2}}\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}}\\ & =\sqrt{\frac{\pi}{2}} \end{align*}(2)
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}\theta d\theta & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)d\theta\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}tdt\qquad,\qquad t=-\theta+\frac{\pi}{2}\\ & =\sqrt{\frac{\pi}{2}} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | ウォリス積分を含む極限 |
| URL | https://www.nomuramath.com/zotvfo8k/ |
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ベルヌーイ数とリーマンゼータ関数
\[
B_{2n}=(-1)^{n+1}\frac{2(2n)!}{(2\pi)^{2n}}\zeta(2n)
\]
ラクランジュの未定乗数法
\[
F\left(x_{1},\cdots,x_{n},\lambda_{1,}\cdots,\lambda_{m}\right)=f\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)-\sum_{k=1}^{m}\lambda_{k}g_{k}\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)
\]
ライプニッツ級数
一般化調和数の通常型母関数と調和数の指数型母関数
\[
\sum_{k=1}^{\infty}H_{k,m}z^{k}=\frac{\Li_{m}(z)}{1-z}
\]