3角関数・指数関数の直交性
3角関数・指数関数の直交性
3角関数・指数関数の直交性について次が成り立つ。
3角関数の直交性
\(1,\cos x,\sin x,\cos\left(2x\right),\sin\left(2x\right),\cdots\)は直交する。
\(m,n\in\mathbb{N}\)とする。
指数関数の直交性
\(e^{imx},m\in\mathbb{Z}\)は直交する。
3角関数・指数関数の直交性について次が成り立つ。
3角関数の直交性
\(1,\cos x,\sin x,\cos\left(2x\right),\sin\left(2x\right),\cdots\)は直交する。
\(m,n\in\mathbb{N}\)とする。
(1)
\[ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot1dx=1 \](2)
\[ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot\sin\left(mx\right)dx=0 \](3)
\[ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot\cos\left(mx\right)dx=0 \](4)
\[ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin\left(mx\right)\sin\left(nx\right)dx=\delta_{m,n} \](5)
\[ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin\left(mx\right)\cos\left(nx\right)dx=0 \](6)
\[ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos\left(mx\right)\cos\left(nx\right)dx=\delta_{m,n} \]指数関数の直交性
\(e^{imx},m\in\mathbb{Z}\)は直交する。
(7)
\[ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{imx}e^{inx}dx=\delta_{m,n} \]これらより、\(\frac{1}{\sqrt{2\pi}},\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos x,\frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin x,\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos\left(2x\right),\frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin\left(2x\right),\cdots\)は正規直交関数系となります。
また、\(\left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{inx}\right\} _{n\in\mathbb{Z}}\text{も}\)正規直交関数系となります。
また、\(\left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{inx}\right\} _{n\in\mathbb{Z}}\text{も}\)正規直交関数系となります。
(1)
\[ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot1dx=1 \](2)
\(\sin\left(mx\right)\)は奇関数なので、\[ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot\sin\left(mx\right)dx=0 \] となる。
(3)
\begin{align*} \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot\cos\left(mx\right)dx & =\frac{1}{m}\left[\sin\left(mx\right)\right]_{-\pi}^{\pi}\\ & =0 \end{align*}(4)
\begin{align*} \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin\left(mx\right)\sin\left(nx\right)dx & =-\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left\{ \cos\left(\left(m+n\right)x-\cos\left(\left(m-n\right)x\right)\right)\right\} dx\\ & =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos\left(\left(m-n\right)x\right)dx\\ & =\frac{1}{2\pi}\cdot\begin{cases} \frac{1}{m-n}\left[\sin\left(\left(m-n\right)x\right)\right]_{-\pi}^{\pi} & m\ne n\\ \left[1\right]_{-\pi}^{\pi} & m=n \end{cases}\\ & =\frac{1}{2\pi}\cdot\begin{cases} 0 & m\ne n\\ 2\pi & m=n \end{cases}\\ & =\delta_{m,n} \end{align*}(5)
\(\sin\left(mx\right)\cos\left(nx\right)\)は奇関数なので、\begin{align*} \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin\left(mx\right)\cos\left(nx\right)dx & =0 \end{align*} となる。
(6)
\begin{align*} \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos\left(mx\right)\cos\left(nx\right)dx & =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left\{ \cos\left(\left(m+n\right)x+\cos\left(\left(m-n\right)x\right)\right)\right\} dx\\ & =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos\left(\left(m-n\right)x\right)dx\\ & =\delta_{m,n} \end{align*}(7)
\begin{align*} \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{imx}e^{inx}dx & =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{i\left(m+n\right)x}dx\\ & =\begin{cases} \frac{1}{2\pi\left(m+n\right)}\left[e^{i\left(m+n\right)x}\right]_{-\pi}^{\pi} & m\ne n\\ 1 & m=n \end{cases}\\ & =\begin{cases} \frac{1}{2\pi\left(m+n\right)}2i\sin\left(\left(m+n\right)\pi\right) & m\ne n\\ 1 & m=n \end{cases}\\ & =\begin{cases} 0 & m\ne n\\ 1 & m=n \end{cases}\\ & =\delta_{m,n} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 3角関数・指数関数の直交性 |
| URL | https://www.nomuramath.com/zqhms2gy/ |
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複素フーリエ係数の関係
\[
c_{-n}=\overline{c_{n}}
\]
複素フーリエ級数
\[
c_{m}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)e^{-imx}dx
\]
フーリエ級数でのパーセバルの定理
\[
\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}\overline{b_{n}}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}A\left(x\right)\overline{B\left(x\right)}dx
\]
実フーリエ級数
\[
f\left(x\right)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}\cos\left(nx\right)+b_{n}\sin\left(nx\right)\right)
\]